Алгебра та початки аналізу
Частина ІІ
(електронний навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів
1-а курсу з дисципліни «Математика»)
Укладачі: О.А.Клинцова, викладач вищої категорії
Л.Ф.Зоркіна, викладач вищої категорії
Рекомендовано методичною Радою коледжу
Протокол ________від ___________________
Погоджено цикловою комісією математики, інформатики
та обчислювальної техніки
Протокол № від . .2012 р.
Голова комісії ____________Л.О.Якшина
Харків 2012
ББК 22.1 я 73
УДК 512.6 ( 075.8)
А - 45
Електронний навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів 1а курсу з дисципліни «Математика» ( розділ « Алгебра та початки аналізу». Частина ІІ).
Укл. Клинцова О.А., Зоркіна Л.Ф.- Харків.: ХМК, 2012.- 112с.
Рецензент: викладач вищої категорії, голова циклової комісії математики, інформатики та обчислювальної техніки Якшина Л.О.
Рекомендовано методичною Радою Харківського машинобудівного коледжу,
Протокол № ________від ______________2012р.
ББК 22.1я 73
© Харківський машинобудівний коледж
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
Електронний навчально-методичний посібник розроблено відповідно до навчальної програми дисципліни «Математика». Цей посібник є продовженням навчально-методичного посібника з алгебри для студентів 1-а курсу і охоплює такі розділи: «Тригонометричні функції числового аргументу», «Похідна функції та її застосування», «Інтеграл та його застосування», «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики».
Специфікою посібника порівняно з нормативними підручниками є орієнтація на самостійну роботу під контролем викладача.
Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач більшість студентів потребують постійних консультацій щодо способів і методів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного посібника студенту не під силу. Такі консультації студент може знайти у цьому посібнику на початку кожного параграфа.
Кожна тема закріплюється вправами, різними за вимогами та складністю.
Спочатку вміщено завдання спрямувального характеру, потім складніші, тренувальні, завдання, які потребують ретельної самоперевірки або контролю з боку викладача.
Система вправ побудована так, що вона повністю охоплює закріплення і перевірку засвоєння теоретичного матеріалу та практичне його застосування, сприяє формуванню обчислювальних навичок.
Посібник пропонується студентам загальноосвітнього курсу для роботи на аудиторних заняттях та самостійної роботи дома, а також усім, хто хоче вдосконалити свої знання з названих тем.
Зміст
Передмова……………………………………………………………………………...3
Розділ І. Тригонометричні функції числового аргументу
§ 1. Радіанна міра вимірювання кутів………………………………………………..5
§ 2. Тригонометричні функції числового аргументу………………………………..6
§ 3. Властивості тригонометричних функцій………………………………………10
§ 4 Основні тригонометричні тотожності………………………………………….12
§ 5. Формули зведеня………………………………………………………………...14
§ 6. Основні формули тригонометрії……………………………………………….17
§ 7. Властивості та графіки тригонометричних функцій………………………….21
§ 8. Обернені тригонометричні функції……………………………………………26
§ 9. Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь………………………29
§ 10. Розв’язання тригонометричних рівнянь……………………………………...32
§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей…………………………………36
Розділ ІІ. Похідна функції та її застосування
§ 12. Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст…………..39
§ 13. Похідна степеневої функції…………………………………………………...41
§ 14. Похідна суми, різниці, добутку та частки двох функцій……………………42
§ 15. Похідна складної функції……………………………………………………...46
§16. Похідні тригонометричних функцій…………………………………………..47
§ 17. Похідна показникової функції………………………………………………...48
§ 18. Похідна логарифмічної функції………………………………………………49
§ 19. Геометричний зміст похідної…………………………………………………50
§ 20. Похідні вищих порядків……………………………………………………….52
§ 21. Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень……..53
§ 22. Ознака сталості, зростання та спадання функції…………………………….55
§ 23. Екстремум функції………………………………………………......................56
§ 24. Побудова графіків функцій……………………………………………………58
§ 25. Найменше та найбільше значення функції…………………………………..59
Розділ ІІІ. Інтеграл та його застосування
§ 26. Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості…………….62
§ 27. Визначений інтеграл та його властивості…………………………………….66
§ 28. Площа криволінійної трапеції………………………………………………...72
§ 29. Застосування визначеного інтеграла при розв’язанні фізичних задач……..76
Розділ ІV. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
§ 30. Елементи комбінаторики……………………………………………………...80
§ 31. Основні поняття теорії ймовірностей………………………………………...86
§ 32. Операції над подіями. Теореми про додавання і множення ймовірностей...96
§ 33. Дискретні випадкові величини………………………………………………103
§ 34. Вступ до статистики………………………………………………………….106
Розділ 1
Тригонометричні функції числового аргументу
§1 Радіанна міра вимірювання кутів
Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Промінь можна обертати навколо своєї початкової точки у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням променя проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертанням променя за годинниковою стрілкою, вважаються від’ємними.
Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут у 1 градус – це кут, що опише промінь, зробивши частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки (позначається ). частина градуса називається хвилиною (позначається ). частина хвилини називається секундою (позначається ).
Кут в 1 радіан – це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.
рад; рад = ;
рад; рад;
1.Виразіть у радіанах величини кутів: .
2. Виразіть у градусах величини кутів: .
3. Колесо машини за 0,5хв. повертається на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.
4. Зубчате колесо повертається за 0,2хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.
5. Шліфувальний круг повертається за 0,1хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.
6. Зубчате колесо має 100 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 40 зубців.
7.Зубчате колесо має 90 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 50 зубців.
8. Зубчате колесо має 50 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 35 зубців.
до змісту
§2 Тригонометричні функції числового аргументу
Тригонометричним колом називається коло центр якого знаходиться у початку координат, а радіус дорівнює одиниці. Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу) ділять одиничне коло на чотири чверті(І – IV), або чотири квадранта. Відзначимо на осі Ох справа від початку координат точку , яка лежить на тригонометричному колі: . Радіус називається початковим радіусом. При повороті початкового радіуса біля центра О на кут точка переходить в деяку точку .
рис.1
Синусом кута називається відношення ординати точки до радіусу, а косинусом кута називається відношення абсциси точки до радіусу. Оскільки , то , а .
Оскільки координати будь-якої точки одиничного кола задовольняють рівнянню кола, то . Співвідношення називаєтьсяосновною тригонометричною тотожністю.
Тангенсом кута називається відношення ординати точки до її абсциси: .
Котангенсом кута називається відношення абсциси точки до її ординати: .
Секансом кута називається величина, обернена , тобто .
Косекансом кута називається величина, обернена , тобто .
Знаки тригонометричних функцій , , , у різних чвертях подано у табл. 1
Таблиця 1
| І | ІІ | ІІІ | ІV | |
| + | + | - | - | |
| + | - | - | + | |
| + | - | + | - | |
| + | - | + | - |
Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 2).
Таблиця 2
| 0 | -1 | |||||||
| -1 | ||||||||
9.На тригонометричному колі побудуйте кут повороту, що дорівнює: .
10. Визначить, кутом якої чверті є кут , якщо кут дорівнює: .
11. Серед кутів повороту знайдіть такі, при яких початковий радіус-вектор займе таке саме положення, як і при повороті на кут:
1)
2) .
12.Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:
1) , де ;
2) , де .
13.Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .
14. Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .
15.Обчисліть:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
16.Знайдіть значення виразу:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
17.Знайдіть найбільше та найменше значення виразу:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
18.Визначить знак виразу:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) .
до змісту
§3 Властивості тригонометричних функцій
Оскільки точки, які відповідають кутам і є симетричними відносно осі абсцис (Ох), то абсциси цих точок співпадають , ординати є протилежними. Це значить, що , , тобто функція є парною, а – непарною.
Розглянемо інші тригонометричні функції:
, звідси , тобто функція є непарною.
, звідси , тобто функція є непарною.
Для періодичної функції виконується рівність , де Т – відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т – період, то – період, де . Найменший додатний період функції називається основним періодом. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій і ; для функцій і . У більш загальному вигляді можемо записати:
; ;
; .
Якщо кути виражати в радіанах, то можна сказати, що основні періоди функцій і , а основні періоди функцій і .
19.Знайдіть значення виразу:
1) ; 2) ;
3) 4) ;
5)
6) .
20.Обчисліть:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
21.Знайдіть найменший додатний період функцій:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
22.Знайдіть значення , якщо:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
до змісту
§4 Основні тригонометричні тотожності
Крім тотожності ,основними тригонометричними тотожностями називаються також співвідношення :
, ,
, , ,
, ,
, ,
, .
У формулах , знаки « + » або « - » вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут . Так, якщо закінчується в І або ІІ чверті, то беремо знак « + », а якщо в ІІІ або ІV чверті, то знак « - » у формулі . У формулі для кутів, що закінчуються в І або ІV чвертях, потрібно взяти знак « + », а якщо кути закінчуються в ІІ або ІІІ чвертях, то знак « - ».
23.Обчисліть значення тригонометричних функцій кута , якщо відомо, що:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
24.Спростіть: вирази:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) .
При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:
1) вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожних перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;
2) вираз, який стоїть у лівій і вираз, який стоїть у правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду;
3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.
25.Доведіть тотожності:
1) ; 2) ;
3) 4)
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
26.Спростіть вирази:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
до змісту