Задача 3.
Даны точки А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
3.а.) Найти длину ребра А1 А2.
Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.
Длина ребра А1 А2 равна 3 .
3.б.) Составить уравнение ребра А1 А4 .и грани А1А2А3.
Составим уравнение прямой проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2) и А 4 (0,1,1), воспользуемся формулой (2)
;
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Воспользуемся формулой (7)
уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра
3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки
А 4 (0,1,1) на плоскость А1А2А3.
Высота проходит через точку А 4 (0,1,1) и перпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали 
.
Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. 
(2) , то 
уравнение искомой высоты.
или в параметрической форме (3)
x=6t, y=1-8t, z=1+5t
3.г.) Найти площадь треугольника А1A2A3 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2),
Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)
; 
, 
3.д) Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4 с вершинами
А 1 (1,-1,-2), А 2 (2,1,0), А 3 (-1,0,2), А 4 (0,1,1) .
Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А1A2, А1A3, А1A4. Воспользуемся формулой (14)
, ,
