Число называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ=Х.
Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .
Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений
(А -Е) = 0.
Задача 4.
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
А = .
Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.
А –Е = – = .
При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.
Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:
, , .
Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.
Пусть
Х= – искомый собственный вектор.
Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:
или
(1)
Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
При система (1) принимает вид:
Общее решение этой системы , где любое число.
Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Аналогично при получаем систему
,
общее решение которой , где любое число.
Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид
.
Ответ: , , ,
, , .