Дистрибутивність

4. AÈÆ=A; AÈU=U;
AÇÆ=Æ; AÇU=A;
`Æ=U; `U=Æ; властивості границь

5. AÈ`A=U; AÇ`A=Æ; доповнення

6. AÈA=A; AÇA=A; ідемпотентність

7. AÈ(AÇB)=A; AÇ(AÈB)=A; поглинання

8. AÈ(`AÇB)=AÈB; AÇ(`AÈB)=AÇB;
(AÇC)È(BÇ`C)=(AÇC)È(BÇ`C)È(AÇB);
(AÈC)Ç(BÈ`C)=(AÈC)Ç(BÈ`C)Ç(AÈB) Блейка-Порецького

9. (AÇB)È(`AÇB)=B; (AÈB)Ç(`AÈB)=B склеювання

10. ù(AÇB)=`AÈ`B; ù(AÈB)=`AÇ`B; деМоргана

11. Якщо АÈB=U і AÇB=Æ то A=`B

12. ù ùA=A; інволютивність

13. AB=AÇ`B

14. A-B=B-A; комутативність

15. A-(B-C)=(A-B)-C; асоціативність

16. A-Æ=Æ-A=A; A-U=U-А=`A; властивості границь

17. AÍB, якщо і тільки якщо АÈB=B і AÇB=A і AÇ`B=Æ

18. A=B, якщо і тільки якщо A-B=.

1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин

Для доведення тотожностей використовується універсальний метод, в основу якого покладене визначення рівності (еквівалентності) двох множин. Кожне з доведень складається з послідовності тверджень вигляду “якщо Р, то Q”, записується як “PÞQ” і що читаються як “з R випливає Q”. Отже, якщо існує послідовність тверджень Р, Р₁, Р₂, Р₃, ..., Р_n, Q така, що з Р випливає Р₁, з Р₁ випливає Р₂,…з Р_n випливає Q, то існує доведення, що “з Р випливає Q”, тобто RÞQ.

Приклад. D=AÇ(BÈС) = (AÇB)È(AÇС)=E

а) Доведемо, що DÍE. Якщо dÎD, то dÎA і dÎ(BÈC), чи отже, (dÎA і dÎB), чи (dÎA і dÎC). Це значить, що dÎAÇB чи dÎAÇC), тобто dÎ(AÇB)È(AÇC), що записується як dÎE. Тобто, DÍE.

б) Доведемо, що ЕÍD. Якщо еÎE то еÎ((AÇB) чи (AÇС)), отже еÎA і еÎB) чи еÎA і еÎC. Це значить, що еÎA і еÎ(BÈC) тобто еÎD. Тобто, ЕÍD. Отже, D=Е.

Для доведення тотожностей можуть бути використані доведені раніше тотожності.

Приклад. AÈ(AÇB)=A; AÈ(AÇB) = (AÇU)È(AÇB) = AÇ(UÈB) =
= AÇU = A.

Для кожної множини М, булеан У(М) замкнутий щодо операцій È,Ç,,-,ù, тобто для всяких М₁, М₂ÎB(M) множини, одержувані в результаті виконання операцій М₁ÈM₂, M₁ÇM₂, M₁M₂, M₂M_1,, M₁-M₂, `M<sub>1</sub>,`M₂ є елементами булеана В(М).

Булеан B(М) разом з (булевими) операціями на ньому утворюють так звану (булеву) алгебру множин. Кожна підмножина M’ булеана В(М) замкнута відносно (булевих) операцій, містить як множини, що є підмножинами кожної множини з M’, так і множини, що містять як підмножини кожну множину з M’. Таким чином, M’ з (булевими) операціями також виявляється (булевою) алгеброю.

1.4. Узагальнення операцій. Подвійність

Завдякі властивості асоціативності об'єднання, Перетин і симетрична різниця довільних сімей множин можуть бути записані без пріоритетних дужок.