Можна розглянути як самий загальний випадок спільну систему з
m булевих нерівностей й n булевих рівнянь:
f1(x1, x2, …, xk) £ g1(x1, x2, …, xk);
… … …
fm(x1, x2, …, xk) £ gm(x1, x2, …, xk);
fm+1(x1, x2, …, xk) = gm+1(x1, x2, …, xk);
… … …
fm+n(x1, x2, …, xk) = gm+n(x1, x2, …, xk)
Спочатку доцільно замінити всі m булевих нерівностей еквівалентними їм однорідними рівняннями
f1(x1, x2, …, xk) Ù`g1(x1, x2, …, xk) = 0
..... … …
fm(x1, x2, …, xk) Ù`gm(x1, x2, …, xk) = 0.
Далі можна зробити однорідними n булевих рівнянь, що залишилися
fm+1(x1, x2, …, xk) Å g m+1(x1, x2, …, xk) = 0
..... … …
fm+n(x1, x2, …, xk) Å g m+n(x1, x2, …, xk) = 0.
Після цього можна об'єднати всі рівняння, що вийшли, в одне єдине еквівалентне рівняння. У результаті буде отримане
f1(x1, x2, …, xk) Ù`g1(x1, x2, …, xk) Ú …
Ú fm(x1, x2, …, xk) Ù`gm(x1, x2, …, xk) Ú
Ú (fm+n(x1, x2, …, xk) Å gm+n(x1, x2, …, xk)) Ú…
Ú fm+n(x1, x2, …, xk) Å g m+n(x1, x2, …, xk) = 0.
Використовуючи заперечення й закон де-Моргана, можна праву частину замінити на 1
ù(f1(x1, x2, …, xk) Ù`g1(x1, x2, …, xk)) Ù …
Ù ù(fm(x1, x2, …, xk) Ù`gm(x1, x2, …, xk)) Ù
Ù ù( (fm+n(x1, x2, …, xk) Å gm+n(x1, x2, …, xk)) Ù…
Ù ù(fm+n(x1, x2, …, xk) Å g m+n(x1, x2, …, xk)) = 1.
Фактичне визначення розв’язань рівняння хоча в принципі й просто (досить обчислити його на всіх наборах с = (x1, x2, …, xk) Î Bk), однак для великого числа змінних є трудомісткою задачею, виконання якої вимагає великої уваги. Однак саме у двійкових системах розв’язання систем булевих рівнянь і нерівностей є однією з основних задач, що зустрічаються постійно, як у аналізі, так і у синтезі логічних схем, програм і алгоритмів.
Приклад. Для розглянутих вище систем трьох рівнянь і двох нерівностей моживе спільне розв’язання
x1 Ù x2 = 0
x1 `¬ x2 = 0
x1 Å x2 = 0
x1 Ù x2 £ x1 / x2
x1 Å x2 £ x1`¬ x2
Тоді при диз'юнктивному об'єднанні всіх лівих частин й еквівалентних рівнянь вийде
(x1 Ù x2) Ú (x1 `¬ x2) Ú (x1 Å x2) Ú ((x1 Ù x2)ù(x1 / x2)) Ú ((x1 Å x2)ù (x1`¬ x2)) = 0.
Приведення до булевого базису дасть
(x1 Ù x2) Ú (`x1 Ù x2) Ú ((`x1 Ù x2) Ú (x1 Ù `x2)) Ú ((x1 Ù x2)ù(`x1 Ú`x2)) Ú (((`x1 Ù x2) Ú (x1 Ù `x2))ù(`x1 Ù x2)) = 0.
Після перетворень вийде
(x1 Ù x2) Ú (`x1 Ù x2) Ú (x1 Ù `x2) Ú ((x1 Ù x2)(x1 Ù x2)) Ú (((`x1 Ù x2) Ú (x1 Ù`x2))(x1 Ú`x2)) = x1 Ú x2 Ú (x1 Ù x2) Ú (x1 Ù`x2) = x1 Ú x2 = 0.
Диз'юнкція дорівнює 0 при нульових аргументах, тобто при x1 = 0 і x2 = 0. Отже, пари з = (x1 = 0, x2 = 0) і будуть розв’язанням системи трьох рівнянь і двох нерівностей.
На закінчення можна сформулювати проблему можливості розв'язання.
Визначення. Булева функція f(x1 ... хk, y1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk)) називається розв'язною по у1, ..., уm, якщо є булеві функції у1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk), такі, що
f(x1 ... хk, y1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk)) = 0
Проблема полягає в знаходженні таких векторів змінних (в1, ... уm), які можуть бути представлені у вигляді булевих функцій уже існуючих змінних
x1, ..., хk, що задовольняють останньєму рівнянню.