Ці визначення узагальнюються на випадок, коли множини Мі задані як елементи деякої сім'ї множин М и потрібно виконання деякої додаткової умови В:
È{Mі|MіÎM і Мі задовольняє умову В}.
Приклад. È{Mі|MіÎB(Z) і MіÇN0=Æ} - множина усіх від'ємних цілих чисел.
Замість È{Mі|іÎN} використовується запис ÈMі . Аналогічно - для ¢¢Ç¢¢ і ¢¢-¢¢.
Перші вісім тотожностей представлені парами подвійних (дуальних) співвідношень, одне з яких виходить заміною в іншому символів “È” на “Ç” і “Ç” на “È”, а також Æ на U і U на Æ. Відповідні пари символів È, Ç і Æ, U називаються подвійними (дуальними).
Принцип подвійності: При заміні в будь-якій теоремі (тотожності, формулі) вхідних у неї символів дуальними одержимо новий вираз, що також є теоремою (тотожністю, формулою).
Тотожності 9, 11 не змінюються при заміні символів дуальними і називаються самоподвійними. Принцип подвійності поширюється на “”, -, а також на вираження, що включають знаки “Ì” і ”É”, які при переході до дуальних виражень заміняються на знаки відповідно “É” і “Ì”.
Різні вираження алгебри множин можна спрощувати чи перетворювати до зручного вигляду за допомогою тотожних перетворень, тобто послідовності застосувань відповідних властивостей (тотожностей) операцій над множинами.