Біном Ньютона

Поставимо у відповідність кожному об'єкту з множини {} двочлени вигляду 1+і перемножимо їх:

(1+... =

Коефіцієнт багаточлена являє собою суму добутків, кожний з яких є утворений r елементами з n (r-cпoлучень), причому всього в є C(n, r) таких добутків.

Біномом Ньютона і біноміальні коефіцієнти. Якщо покласти , то будь-Якій добуток r-сполучень елементів дорівнює одиниці і, отже, , у такому випадку

(1+x)=

Це вираження називають біномом Ньютона, а r-сполучення з
n різних елементів C(n, r) є біноміальними коефіцієнтами.

Якщо визначити якім-небудь способом a_r, можна знайти і значення C(n, r). Навпаки, якщо обчислити числа сполучень з n елементів по
r = 0, 1, ... , n, можна одержати коефіцієнти розкладання (1+x).

За допомогою бінома Ньютона можна вивести формули сполучень.

Приклад. Поклавши x = 1 і x = -1, маємо

Перша з цих формул визначає, зокрема, кількість усіх підмножин деякої множині. Якщо продиференціювати біном Ньютона за x і покласти x = -1, можна одержати

,

а якщо продиференціювати k раз за x, розділити на k! і покласти x = 1, можна прийти до співвідношення

, .