Вектором называется матрица чисел размером:
, где , ,…, — есть координаты .
Говорят, что данный вектор принадлежит линейному пространству .
Например, пространство есть обычная плоскость с векторами: .
Над векторами можно проводить те же операции, что и над матрицами, т. е. умножать на число и складывать их, а также перемножать.
Собственным вектором квадратной матрицы А на-зывается ненулевой вектор (у которого не все координаты равны нулю), удовлетворяющий соотношению:
,
гдеесть число, при этом называется собственным значением матрицы А.
Для нахождения собственных значений матрицы А порядка n необходимо решить характеристическое уравнение относительно :
, т. е.
Для нахождения собственных векторов необходимо найденные значения подставить в следующую СЛАУ:
,
и решить ее.
Пример. Найти собственные векторы матрицы А:
Составляем характеристическое уравнение:
Решаем квадратное уравнение и находим его корни:
, .
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению, из следующей СЛАУ:
Эта система имеет бесконечное множество решений,
т. к. мы находили из условия равенства нулю определителя матрицы этой системы. Обозначим t, тогда .
Следовательно, собственный вектор, соответствующий собственному значению , есть:.
Аналогично находим, что собственный вектор, соответствующий , есть: .