Векторы ,, …, называются линейно зависимыми, если существуют такие действительные числа , одновременно не все равные нулю, что:
(5.1)
Векторы , , являются линейно зависимыми, т. к., например, для , ,выполняется:
.
Векторы , , …, называются линейно независимыми, если (5.1)выполняется только при условии: . Например, векторы , , являются линейно независимыми, так как:
,
следовательно: .
Несложно показать, что векторы вида:, , …, являются линейно независимыми.
Квадратную матрицу А порядка n можно представить в виде совокупности n векторов:
Рангом матрицы А rk A называется количество линейно независимых столбцов векторов этой матрицы (которое, кстати, всегда совпадает с количеством линейно независимых строк — векторов матрицы). Для нахождения ранга матрицы необходимо матрицу привести к треугольному виду, в котором все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Для этого можно переставлять строки местами и прибавлять к элементам одной строки элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Тогда ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк в треугольной матрице.
Пример. Найдем ранг матрицы А:
|
|
|