Пусть функция определена в точках и . Разность называется приращением аргумента, а — приращением функции. Обозначают: . Следовательно, .
.
Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности, такой, что принадлежит этой окрестности.
Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел:
=
Этот предел называется производной функции в точке и обозначается:
.
Для основных элементарных функций производные находят из определения производной. Справедливы следующие формулы дифференцирования:
, .
, в частности .
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; .
Используются следующие формулы дифференцирования. Если функции и дифференцируемы, то
1. .
2. , где .
3. .
4. .
Если — сложная функция, причем функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем:
.
Пример 1. Найти производную функции: .
Используя правило 4 дифференцирования частного и формулы производных соответствующих функций, получим:
.
Пример 2. Найти производную: . Здесь ; .
. Значит:
.
Если необходимо найти производную функции , то поступают следующим образом. Логарифмуют обе части равенст-ва: . Получим: . Так как является функцией от , то есть сложная функция, следовательно: .
Таким образом, получаем:
.
Значит: .
Пример 3. Найдем производную .
Здесь .
Значит,