1. Доказать, что функция монотонно возрастает на отрезке: а) ; б) Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?
2. Доказать теорему: если функции и дифференцируемы на отрезке и , а , то .
Дать геометрическую интерпретацию теоремы.
У к а з а н и е. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции .
3. Доказать неравенство для трех случаев:
а) ;
б) ;
в) .
Дать геометрическую интерпретацию неравенства.
4. Исходя из определений минимума и максимума, доказать, что функция
имеет в точке минимум, а функция
не имеет в точке экстремума.
5. Исследовать на экстремум в точке функцию , считая, что производная не существует, но функция непрерывна в точке и , .— натуральное число.
6. Исследовать знаки максимума и минимума функции и выяснить условия, при которых уравнение имеет а) три различных действительных корня; б) один действительный корень.
7. Определить «отклонение от нуля» многочлена на отрезке , т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции .
8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.