Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f(x) = 0,
здесь .
Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем [10].
Пусть известно некоторое приближение x(k) корня x*. Тогда поправку можно найти, решая систему
.
Для определения разложим векторную функцию в ряд по . Сохранив только линейные по части, получим
.
Здесь через обозначена матрица производных .
Если , то , где - матрица, обратная матрице производных.
Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле
.
Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы состоит в построении итерационной последовательности:
.
Если , то в достаточно малой окрестности корня x* итерационный процесс сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е. если , то . Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие . Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.