1). Пусть заданы две прямые:
и
Нормальные векторы прямых имеют координаты:
Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:
.
Условие параллельности двух прямых:
.
Условие перпендикулярности:
т.е. .
2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:
и ,
то их направляющие векторы: .
Аналогично с п.1). имеем:
Условие параллельности:
.
Условие перпендикулярности:
.
3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
,
тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:
,
при этом угол отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.
Условие параллельности:
.
Условие перпендикулярности:
.
Примеры:
1. Дано общее уравнение прямой: . Напишите различные типы уравнений этой прямой.
а). Уравнение прямой в отрезках;
б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;
в). нормальное уравнение прямой;
.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение: Воспользуемся уравнением
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и начало координат.
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку
Решение:
5. Найти угол между прямыми и
Решение:
6. Показать, что прямые и перпендикулярны.
Решение:
Найдём скалярное произведение и
, следовательно, прямые перпендикулярны.
7. Даны вершины треугольника . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершины С.
С
А Н М К В
а). медиана СМ
точка М – середина отрезка АВ.
Найдём координаты точки М:
Итак, точка
Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)
б). высота СН
Так как , то вектор , значит он является нормальным для прямой СН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.
в). биссектриса СК
Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
Возьмём на биссектрисе СК текущую точку . По свойству имеем: . Но и есть расстояния от точки N до АС и ВС соответственно.
C
N
A K B Составим уравнения АС и ВС:
АС:
ВС:
Нормируем эти уравнения:
, следовательно, АС: ,
тогда ;
, следовательно, ВС: ,
тогда .
Так как
Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали из точки О в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение примет вид:
СК: .
8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих с прямой угол .
Будем искать уравнение прямой в виде . Так как прямая проходит через точку А, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. . Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:
.
Так как угловой коэффициент данной прямой равен , а угол , то
Имеем два значения k:
.
Найдём соответствующие значения b:
Получили две искомые прямые: .
9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.
Будем искать уравнение прямой в отрезках
, так как , то
10. При каких значениях параметра t прямые и параллельны?
Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.
11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:
Соответственно, .
Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки , через которые проходит эта прямая:
12. Найти расстояние от точки до прямой .
Решение: Нормируем уравнение прямой .
.