1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ).
2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности.
3) Каждому действительному корню кратности поставим в соответствие линейно независимых решений
4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности сопоставим линейно независимых решений
5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из функций ( – порядок уравнения (1)).
Общее решение уравнения (1) имеет вид
где – построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а --- произвольные постоянные.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение.Составляем характеристическое уравнение , находим его корни и устанавливаем их кратности:
Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид