Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например

 

3 семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными

В элементарной математике в основном рассматриваются алгебраические уравнения. Корнями (или решениями) таких уравнений являются, как правило, числа. В линейной алгебре мы имели дело с системами уравнений, решениями которых совокупности чисел (векторы). После изучения дифференциального и интегрального исчисления резонно рассмотреть уравнения, содержащих в качестве неизвестных не числа, а функции. Простейшим примером такого уравнения является следующее: Здесь решением является такая функция производная которой совпадает с известной функцией Эту функцию, как известно называется первообразной для Она имеет вид Это и есть решение уравнения которое называется дифференциальным уравнением. Перейдем к рассмотрению таких уравнений.

1. Общие понятия

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например,

 

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то соответствующее уравнение называется обыкновенным уравнением (таковыми являются уравнения 1-3). Если же она зависит от двух и более переменных, то соответствующее уравнение называется уравнением в частных производных (таковым является уравнение 4).

Здесь рассматриваются только обыкновенные уравнения. Они часто встречаются на практике. Например, уравнение выражает собой второй закон Ньютона, а уравнение описывает вынужденные колебания линейного осциллятора (точкой обозначено дифференцирование по ).

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции или её дифференциала. Например, уравнения 1 и 3 – дифференциальные уравнения первого порядка, а уравнение 2 – уравнение го порядка.

 

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, его частное и общее решения (интегралы). Теорема Коши существования и единственности решения начальной задачи. Геометрическийсмысл дифференциального уравнения. Метод изоклин

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

 

 

где неизвестная функция. Областью определения уравнения (1) называется множество

Определение 1.Функция называется решением уравнения (1) на отрезке[1] если выполнены следующие условия:

1) точка

2) функция дифференцируема на отрезке и имеет место тождество

 

График решения называется интегральной кривой уравнения (1). Например, функция является решением уравнения на всей числовой оси (проверьте это!). Часто вместо слов “ решить уравнение” говорят “проинтег-

рировать уравнение”.

Пусть – область определения уравнения (1). Тогда в каждой точке мы можем построить вектор Поскольку угловой коэффициент интегральной кривой в фиксированной точке равен то вектор касается в точке интегральной кривой. Важно заметить, что саму интегральную кривую можно и не знать, а вектор всегда известен. Таким образом, уравнение задаёт в своей области определения множество векторов которое называют векторным полем (или просто полем) дифференциального уравнения (1). В этом и состоит геометрический смысл уравнения (1).

В связи с этим задачу интегрирования дифференциального уравнения (1) можно свести к построению кривых, касающихся в каждой своей точке векторного поля На такой интерпретации уравнения (1) основан геометрический метод решения, называемый методом изоклин. Поясним его смысл.

Определение 2.Кривая задаваемая уравнением называется изоклиной уравнения (1).

Из геометрического смысла уравнения (1) вытекает, что все его интегральные кривые в произвольной точке изоклины имеют касательные векторы одного и того же наклона (см. рис.1). Построив довольно густую сетку изоклин (с различными постоянными ) и изобразив на них векторы мы, двигаясь от фиксированной точки с изображенным на ней вектором проводим эскиз кривой, которая коснется вектора на следующей ближайшей изоклине, и т.д. В результате будет нарисована приближенная интегральная кривая уравнения (1) (на рис. 1 изображены не сами векторы , а их небольшие отрезки).

Рассматривая уравнение видим, что оно имеет бесконечное множество реше-

ний где произвольная постоянная. Такая ситуация имеет место для любого дифференциального уравнения. Для выделения конкретного решения надо задать вместе с равнением (1) ещё так называемое начальное условие означающее, что при решение должно иметь значение Полученная задача называется начальной задачей или задачей Коши и её кратко записывают так:

 

Геометрически задача Коши означает, что среди всех интегральных кривых уравнения (1) надо найти ту, которая проходит через заданную начальную точку (см. рис. 2). В каком случае задача Коши (2) имеет решение и будет ли оно единственным? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении, которое мы даём без доказательства.

Теорема Коши(существования и единственности решения начальной задачи). Пусть в уравнении (1) правая часть и её частная производная непрерывны в области определения уравнения (1). Тогда какова бы ни была начальная точка

лежащая внутри области существует число такое, что начальная задача (2) с указанной начальной точкой имеет на отрезке решение и это решение единственно на этом отрезке.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы Коши существует окрестность начальной точки в которой содержится лишь одна интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку (см. рис. 3) . Сделаем два замечания.

Замечание 1.Теорема Коши носит достаточный характер. Это означает, что при выполнении её условий решение задачи (2) обязательно существует и единственно. Однако решение может существовать и тогда, когда не выполняются условия этой теоремы. Правда, в этом случае не гарантируется единственность решения. Например, задача Коши имеет два решения : и

 

В этой задаче правая часть не удовлетворяет условиям теоремы Коши: в окрестности начальной точки частная производная не существует.

Замечание 2. Теорема Коши носит локальный характер. Это означает, что при выполнении её условий существование решения гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки (число вообще говоря, достаточно мало̀).

Перейдём теперь к описанию частного и общего решений и интегралов.

Определение 3.Частным решением уравнения (1) называется решение какой-нибудь его фиксированной задачи Коши (2), а частным интегралом этого уравнения называется

частное решение записанное в неявной форме

Например, функция является частным решением уравнения а соотношение – частным интегралом того же уравнения.

Определение 4.Общим решением уравнения (1) в области ( область определения уравнения (1))называется функция удовлетворяющая следующим требованиям:

1) какова бы ни была допустимая постоянная функция является решением уравнения (1) на некотором отрезке

2) какова бы ни была начальная точка существует значение постоянной такое, что функция является решением задачи Коши (2) с этой начальной точкой.

Общим интегралом уравнения (1) называется общее решение, записанное в неявной форме

Чтобы проверить, будет ли соотношение общим интегралом уравнения (1), надо из системы уравнений

 

исключить постоянную Если при этом будет получено дифференциальное уравнение (1) (или эквивалентное ему уравнение), то – общий интеграл уравнения (1).

Пример 1.Проверить, что соотношение является общим интегралом уравнения

Решение. Составляем систему (3) и исключаем постоянную

 

Получено данное дифференциальное уравнение, значит, – его общий интеграл.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения

 

Опишем теперь аналитические методы решения некоторых дифференциальных уравнений.

1. Уравнения с разделенными переменными:

Ясно, что общий интеграл этого уравнения может быть получен интегрированием обеих частей (функции и непрерывны в своих областях определения):

 

Отметим, что здесь часто вместо определенных интегралов пишут неопределенные.

2. Уравнения с разделяющимися переменными:

 

(здесь перед дифференциалами стоят произведения функций с разделёнными переменными).

Предполагая, что функции непрерывны в своих областях определения, разделим обе части уравнения (4) на произведение будем иметь

 

Получено уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его, получим общий интеграл

 

Однако это верно в случае, когда Случаи или надо рассматривать отдельно. Если при этом будут получены решения уравнения (4), то их надо присовокупить к уже полученным.

Пример 2.Решить уравнение

Решение. Разделяем переменные, поделив обе части уравнения на произведение

и интегрируем полученное уравнение:

 

Рассматриваем отдельно случай При исходное уравнение обращается в тождество, значит, – решение. Оно может быть получено из при Функция также удовлетворяет данному уравнение. Однако она не может быть получена из . Следовательно, решениями исходного уравнения является совокупность функций

3. Однородные уравнения:

Такие уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися переменной заменой где новая неизвестная функция. Действительно, дифференцируя замену и подставляя её в исходное уравнение, будем иметь

 

Заметим, что к однородным приводятся уравнения вида

 

В первом случае надо разделить числитель и знаменатель входящей под знак функции дроби на во втором случае сделать замену переменных где решение системы уравнений

 

Пример 3.Решить уравнение

Решение.Найдем решение системы Делаем замену переменных Вместо исходного получим следующее уравнение:

jj

Это уравнение однородно, поэтому делаем замену В итоге получим уравнение решая которое методом разделения переменных, будем иметь

 

Получен общий интеграл данного уравнения.

Лекция 2. Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл. Методы понижения порядка дифференциального уравнения

Наиболее часто встречаются линейные дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, у которых правая часть линейна относительно неизвестной функции. Перейдём к их рассмотрению.

Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной

  где неизвестная функция, известные функции[2], называется линейным… Теорема 1.Пусть в уравнении (1) функции непрерывны на отрезке Тогда уравнение (1) с начальным условием имеет…

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл

Сначала дадим понятие решения уравнения (3). Определение 1.Решением уравнения (3) на отрезке называется такая функция … которая удовлетворяет следующим условиям:

Уравнения, допускающие понижение порядка

  не содержащее в правой части неизвестную функцию. Оно легко решается…  

Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши

 

Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства:

1) – пространство функций, непрерывных на отрезке

2) – пространство функций непрерывных вместе со своими производными (до --го порядка включительно),

Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.

Теорема 1. Если в операторе все коэффициенты непрерывны на отрезке , то действует из пространства в пространство (т.е. ) и является линейным оператором, т.е.

 

для произвольных постоянных и и произвольных функций

Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при --кратном дифференцировании функция класса переходит в функцию класса Кроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен оператор Будем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентом B этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме

 

где обозначено:

 

Наша ближайшая задача – изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши

 

где произвольный вектор.

Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решение и это решение определено также на этом отрезке.

Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения.

Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана

Пусть функции имеют смысл на отрезке Определение 1. Говорят, что система функций линейно зависима на отрезке …  

Структура общего решения однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение   Докажем следующий важный результат.

Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение   Докажем следующее утверждение.

Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам: 1) построение фундаментальной системы решений соответствующего однородного… 2) вычисление частного решения неоднородного уравнения (1).

Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений

Напомним, что комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, --- мнимая единица ( ). При этом называется… то можно получить еще одну форму комплексного числа называемую… Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел,…

Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений

 

На предыдушей лекции были приведены примеры линейно независимых систем функций. Сделано это было не случайно, так как именно такие функции образуют фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа могут быть изучены полностью, если будут найдены корни соответствующих характеристических многочленов (см. ни же ). Построению корней этих многочленов (их называют характеристическими числами) и связи характеристических чисел с решениями дифференциальных уравнений уделяется основное внимание в настоящей лекции.

 

Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения

 

Рассмотрим уравнение

 

с постоянными коэффициентами Построим по нему алгебраическое уравнение

 

заменив в (1) производные на степени ( ).

Определение 1. Многочлен называется характерис-

тическим многочленом уравнения (1), а само уравнение – характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (1).

Имеет место очевидное тождество

 

если – постоянная, так как

Теорема Эйлера. Для того чтобы экспонента ( – постоянная) была решением уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы было корнем характеристического многочлена (или, что то же самое, корнем характеристического уравнения ).

Доказательство.Действительно, если то из (2) следует тождество показывающее, что экспонента является решением уравнения (1). Обратно: если – решение уравнения (1), то и из (2) следует, что т.е. – корень характеристического многочлена Теорема доказана.

Из теоремы Эйлера сразу же вытекает следующий результат.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения различны (т.е. ), то система функций

 

образует фундаментальную систему решений уравнения (1). В этом случае общее решение (на любом отрезке [a,b]) уравнения (1) имеет вид

 

где – произвольные постоянные.

Доказательство следует сразу из теоремы Эйлера и утверждения предыдущей лекции.

Общее решение (4) уравнения (1) может быть комплексным, если хотя бы один из корней характеристического полинома комплексный. Для уравнений (1) с действительными коэффициентами принято записывать общее решение в действительной форме. Это нетрудно сделать, если воспользоваться утверждением лекции 4 и отделив в комплексном решении мнимую и действительную части: и Согласно действительные функции и также являются решениями однородного уравнения (1) с действительными коэффициентами. Поступив так с каждой комплексной экспонентой в , получим следующий результат.

Теорема 2. Пусть корни характеристического уравнения различны, а коэффициенты уравнения (1) действительны. Пусть, далее, корни –действительны, а остальные корни комплексны:

 

Тогда фундаментальную систему решений уравнения (1) можно выбрать в виде действительных функций

 

а общее решение уравнения (1) записать в виде

где – произвольные постоянные.

Доказательство следует из того, что функции (5) являются решениями уравнения (1) (лекция 4, утверждение ) и образуют линейно независимую систему на любом отрезке (лекция 4, утверждение ). Остаётся заметить, что в силу действительности всех коэффициентов уравнения (1) его характеристическое уравнение наряду с корнем имеет и комплексно-сопряженный корень

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение :

 

Разлагая его левую часть на множители, будем иметь

 

Итак, все корни характеристического уравнения различны. Согласно теореме 1 соответствующая фундаментальная система решений будет иметь вид

 

а значит общее решение исходного уравнения запишется в форме

 

 

Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения

Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если   Полезно заметить, что если полином имеет различных корней ( – степень многочлена ), то все они имеют…

Алгоритм 1.

2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности. 3) Каждому действительному корню кратности поставим в соответствие … 4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности сопоставим линейно независимых решений

Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения

Для неоднородного уравнения   с непрерывными на отрезке коэффициентами и неоднородностью был изложен метод вычисления частного решения …

Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости

Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого… Определение 1. Корнем й степени из комплексного числа называется такое… Пусть Имеем (при )

Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и –… Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными.…  

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции

Так же, как и в действительном анализе, для функций комплексного переменного вводится понятие производной. Однако здесь это понятие более глубокое, чем в действительном анализе. Например, всякая линейная действительная функция дифференцируема в любой точке. Для комплексных функций это не так. Например, функция нигде не дифференцируема. Перейдём к изучению этого понятия.

 

Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение … Определение 1. Если существует конечный предел  

Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор …    

Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши

Напомним, что множество называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из . Множество … Теорема Коши для односвязной области.Пусть область односвязная и функция … гладкий замкнутый контур лежащий внутри интеграл от по равен нулю.

Первообразная функции комплексных переменных

Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и Теорема 1. Если однозначная функция дифференцируема в односвязной области … Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно…

Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если…   (с центром ), то легко найдем и область сходимости исходного ряда Поэтому впредь, если не оговорено противное,…