Постоянная является пределом функции в точке , если их разность во всех точках, кроме, по абсолютному значению остается меньше бесконечно малого положительного числа e.
Если для <e, то .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
Если существуюти то
¯ ±
¯ ×
¯ (при ≠0).
Используют также следующие пределы:
- первый замечательный предел
- второй замечательный предел.
Иногда в процессе отыскания предела при замене аргумента определенным значением функция получает выражение или - неопределенность. Хотя это выражение не имеет определенного смысла, функция может иметь конечный предел при данном стремлении аргумента. Это становится очевидным, если функцию преобразовать: разложить ее на множители, или поделить на аргумент, или умножить на сопряженное выражение, и т.д.
Например:
ü при замене преобразовывается в неопределенность .
Раскрыть неопределенность можно, поделив все члены выражения, стоящего под знаком предела, на высшую степень аргумента, то есть на :
=.
ü - неопределенность.
Раскрыть данную неопределенность можно, разложив выражения, стоящие в числителе и знаменателе под знаком предела, на множители, то есть:
ü - неопределенность.
Умножив и поделив выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное выражение , получаем следующее выражение:
=.
Найти следующие пределы:
1.1. . (Ответ: 3) | 1.6. . (Ответ: 9/2) |
1.2. . (Ответ: 1000) | 1.7. . (Ответ: 1/3) |
1.3. . (Ответ: - ) | 1.8. . (Ответ: ) |
1.4. . (Ответ: ) | 1.9. . (Ответ: 1) |
1.5. . (Ответ: 0) | 1.10. . (Ответ: 4) |
1.11. . (Ответ: 0) | 1.21. . (Ответ: 1/2) |
1.12. . (Ответ: 0) | 1.22 . (Ответ: 0,6) |
1.13. . (Ответ: 1/3) | 1.23. . (Ответ: 4) |
1.14. . (Ответ: 1/2) | 1.24. . (Ответ: 0) |
1.15. . (Ответ: 0) | 1.25. . (Ответ: 4) |
1.16. . (Ответ: 1/4) | 1.26. . (Ответ: e=2,718) |
1.17. . (Ответ: ) | 1.27. . (Ответ: 1) |
1.18. . (Ответ: 3) | 1.28. . (Ответ: e3) |
1.19. . (Ответ: 1) | 1.29. . (Ответ: 1/2) |
1.20. . (Ответ: 3) | 1.30. . (Ответ: 1/3) |