Экстремум функции
Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
, если существует такая окрестность точки 
, что для всех 
этой окрестности выполняется неравенство 
<
(максимум) или >(минимум).
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.
Правило отыскания экстремумов функции:
1. Вычислить производную 
.
2. Составить уравнение =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции.
3. Установить знак производной слева и справа от критической точки.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.
Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум.
Рассмотрим примеры.
1. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение.
Находим первую производную заданной функции: 
. Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: 
, значение 
является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если 
, то 
<0. Если 
, то 
>0. Полученный результат позволяет утверждать, что в точке функция имеет минимум, значение которого 
.
2. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение.
Так как - периодическая функция с периодом 
, то достаточно найти экстремумы на отрезке 
.
Дифференцируя, получим 
. Производная существует на всем отрезке и обращается в нуль в точках 
. Для исследования функции на экстремум выясним знак второй производной 
в каждой из полученных точек. Имеем:
 >0;
|  <0;
|  >0;
|  <0.
|
Отсюда следует, что
при   ;
| при   ;
|
при   ;
| при  .
|
 Рис. 1
|
3. В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема. Обозначим высоту, радиус основания и объем цилиндра соответственно через 
. Объем цилиндра рассчитывается по формуле 
. Из геометрических построений видно (рис. 1), что 
, тогда формула для расчета объема будет иметь вид 
.
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции в промежутке 
.
Найдем производную:
. Приравнивая нулю 
, получим единственную критическую точку 
, принадлежащую рассматриваемому промежутку, в которой объем и принимает наибольшее значение 
.
В итоге мы получили, что наибольший объем будет иметь цилиндр, высота которого 
.
4. На какой высоте 
над центром круглого стола радиусом R следует поместить электрическую лампочку, сила света которой J, чтобы освещенность E края стола была максимальной?
Решение.
|
Освещенность вычисляется по формуле 
, где значения 
и 
определяются, исходя из рис.2.
За независимую переменную примем угол и,
| Рис. 2 |
учтя, что 
, получим
.
Найдем максимальное значение полученной функции в промежутке 
изменения независимой переменной . Дифференцируя 
, получим 
. Решая уравнение 
, находим, что функция в интервале имеет единственную критическую точку: 
. Следовательно, при 
освещенность 
будет наибольшей, поэтому 
. Это и есть искомая величина.
Исследовать на экстремум следующие функции.
3.8. 
. (Ответ: при 
функция имеет минимум).
3.9. 
. (Ответ: при 
функция имеет максимум).
3.10. 
. (Ответ: при функция имеет минимум).
3.11. 
.
(Ответ: при 
функция имеет максимум, при - минимум).
3.12. 
.
(Ответ: при 
функция имеет минимум, при 
- максимум).
3.13. 
. (Ответ: при 
функция имеет минимум).
3.14. 
>0.
(Ответ: при 
функция имеет минимум, при
- максимум).
3.15. Исследовать функцию 
на экстремум и найти значения функции в экстремальных точках. (Ответ: при функция имеет минимум; 
).
3.16. Секундный расход воды 
при истечении ее через отверстие в толстой стене определяется по формуле 
, где 
- диаметр отверстия, - глубина его низшей точки, 
- некоторая постоянная. При каком значении секундный расход воды является наибольшим? (Ответ: при
).
3.17. Показать, что мощность 
тока, получаемого от гальванического элемента во внешней цепи, будет наибольшей, если сопротивление R внешней цепи равно внутреннему сопротивлению самого элемента.
3.18. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 
м/с. Уравнение движения тела 
. Будет ли тело подниматься или опускаться в момент 
с? В какой момент оно достигнет максимальной высоты и какова эта высота? (Ответ: тело поднимается; максимальной высоты достигнет в момент времени 
с; 
м).
3.19. Рост численности популяции в условиях ограниченности ресурсов происходит по закону 
, где 
- постоянная величина, зависящая от вида клеток, характера среды и других внешних факторов; 
и 
- начальная и максимально возможная численность популяции. Определить момент времени, когда скорость роста популяции максимальна, и численность популяции в этот момент. (Ответ: 
; 
).
3.20. В последовательной реакции 
концентрация промежуточного вещества 
зависит от времени по закону 
, где 
- постоянные величины (
>
. Определить скорость изменения концентрации. Через какое время после начала реакции концентрация достигнет максимума? (Ответ: 
; 
).
3.21. В шар радиусом R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Определить высоту цилиндра. (Ответ: высота равна 
).