С помощью формулы интегрирования по частям
где u, v –дифференцируемые функции, зависящие от х, нахождение интеграла сводится к отысканию более простого интеграла .
Например:
1). Найти интеграл
.
Положим
,
тогда
.
Отсюда
.
Используя формулу интегрирования по частям, получим
2). Найти интеграл
Полагая
найдем
Отсюда
3). Найти интеграл
.
Полагая
получим
Тогда интеграл примет вид:
Используя формулу интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
4.41 | 4.47 | ||
4.42 | 4.48 | ||
4.43 | 4.49 | ||
4.44 | 4.50 | ||
4.45 | 4.51 | ||
4.46 | 4.52 |
§4. Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач.
Рассмотрим задачи.
1). Шкив вращается вокруг оси под действием момента сил М, который меняется с течением времени по закону М=Аt, А- известная постоянная величина. Найти угловую скорость w и угол поворота jшкива в любой момент времени, если в начальный момент шкив был неподвижен. Момент инерции шкива равен I.
Используем для решения основное уравнение динамики вращения тела
Отсюда .
Угловую скорость находим интегрированием последнего выражения, т.е.
Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий, т.е. из условия, что при t=0, w=0. Получаем, что С=0. Таким образом, угловая скорость в любой момент времени равна
.
Учитывая, что угловая скорость и угловой путь связаны формулой
,
найдем угловой путь
,
где С-постоянная интегрирования, которая вновь определяется из начального условия: при t=0, w=0, значит С1=0. Следовательно, угол поворота шкива в любой момент времени равен
2). Скорость тела через t с после начала движения равна V=(4t+5) м/с. Определить путь, пройденный телом за t с после начала отсчета.
Учтя, что , получим . Тогда
.
Постоянную интегрирования найдем из начального условия, что при t=0 тело покоилось, следовательно С=0. Тогда окончательно имеем
S=2t2+5t (м).
Решить следующие задачи.
4.78 Скорость тела через t с после начала движения равна V=V0+at (м/с). Определить путь, пройденный телом за это время.
4.79 Скорость прямолинейного движения тела в любой момент времени t равна V=3t2+4t (м/с). Найти расстояние, пройденное телом в любой момент времени от начала отсчета, если через 2 с оно равно 15 м.
4.80 В любой момент времени ускорение тела а=(м/с2).Найти зависимость пройденного пути от времени движения, зная, что тело начинает двигаться из состояния покоя с начальной скоростью 3 м/с.
4.81 В любой момент времени скорость тела V=p×cospt (м/с). Найти закон движения тела, зная, что в момент времени t=2 с пройденное от начала отсчета расстояние равно 4 м.
4.82 Сила, действующая на тело в направлении движения, меняется со временем по закону F=6t (Н). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент начала отсчета она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.
4.83 На диск действует постоянный вращающий момент силы М=2 Н×м. Найти закон изменения угловой скорости и угла поворота диска с течением времени, если в начальный момент времени угловая скорость была 30 рад/с, а угол поворота равен нулю. Момент инерции диска 0,02 кг×м2.
4.84 Ток в цепи, содержащей конденсатор, меняется по закону
I=Imaxsinwt (А), где Imax и w- постоянные величины. Как изменяется со временем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален, заряд равен нулю?
4.85 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V0, определяется по формуле V=V0-gt (м/с). На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t с после броска?