Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем
.
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.
Пример 1.
Положим , где .
Тогда
.
Пример 2.
.
Обозначим . Тогда .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Пример 3.
.
Обозначим . Тогда .
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
=.
Пример 4.
.
Положим . Тогда .
.
Пример 5.
.
Если , то . Следовательно
.
Пример 6.
.
Положим , где , а .
Получаем
=.
Пример 7.
<1.
Если то , следовательно,
Выполним алгебраические преобразования и получим окончательно
.
Пример 8.
Имеем
Найти производные следующих сложных функций:
2.81. | (Ответ: ) | 2.82. | (Ответ: ) |
2.83. | (Ответ: ) | 2.84. | (Ответ: ) |
2.85. | (Ответ: ) | 2.86. | (Ответ: ) |
2.87. | (Ответ: ) | 2.88. | (Ответ: ) |
2.89. | (Ответ: ) | 2.90. | (Ответ: ) |
2.91. | (Ответ: ) | 2.92. | (Ответ: ) |
2.93. | (Ответ: ) | 2.94. | (Ответ: ) |
2.95. | (Ответ: ) | 2.96. | (Ответ: ) |
2.97. | (Ответ: ) | 2.98. | (Ответ: ) |
2.99. | (Ответ: ) | 2.100. | (Ответ: ) |
2.101. | (Ответ: ) | 2.102. | (Ответ: ) |
2.103. | (Ответ: ) | 2.104. | (Ответ: ) |
2.105. | (Ответ: ) | 2.106. | (Ответ: ) |
2.107. | (Ответ: ) | 2.108. | (Ответ: ) |
2.109. | (Ответ: ) | 2.110. | (Ответ: ) |
2.111. | (Ответ: ) | 2.112. | (Ответ: ) |
2.113. | (Ответ: ) | 2.114. | (Ответ: ) |
2.115. | (Ответ: ) | 2.116. | (Ответ: ) |
2.117. | (Ответ: ) | 2.118. | (Ответ: ) |
2.119. | (Ответ: ) | 2.120. | (Ответ: ) |
2.121. | (Ответ: ) | 2.122. | (Ответ: ) |
2.123. | (Ответ: ) | 2.124. | (Ответ: ) |
2.125. | (Ответ: ) | 2.126. | (Ответ: ) |