Дифференциал функции

 

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

.

 

 

Основные свойства дифференциала.

 

1. , где С=const

2.

3.

4.

5. ,

6.

 

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.

Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.

1. Найти приращение и дифференциал функции при и =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Имеем

= .

 

Найдем дифференциал функции

.

Абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .