Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.
Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
.
Основные свойства дифференциала.
1. , где С=const
2.
3.
4.
5. ,
6.
Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.
Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.
1. Найти приращение и дифференциал функции при и =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?
Имеем
= .
Найдем дифференциал функции
.
Абсолютная погрешность
.
Относительная погрешность
.
2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .