Решение систем линейных уравнений матричным способом

Рассмотрим систему:

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Данную систему можно записать в матричной форме следующим образом:

A*X=B где А- основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных

X – матрица-столбец, составленная из неизвестных

B – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ , X = x₂ , B = b₂

a₃₁ a₃₂ a₃₃ x₃ b₃

Теорема: Если матрица А невырожденная, т.е. ее определитель DА отличен от нуля, то наша система имеет единственное решение, которое можно записать следующим образом:

X=A^-1*B

Доказательство:

Т.к. матрица А имеет определитель отличный от 0, то для нее существует обратная матрица А^-1. Нашу систему мы записали в матричной форме. Домножим обе части системы слева на матрицу А^-1.

A^-1*A*X=A^-1*B , тогда Е*X= A^-1*B или

X= A^-1*B теорема доказана

Пример:

2*x₁ +3*x₂ = 5 2 3