Линейные системы общего вида

Рассмотрим систему линейных уравнений с n-неизвестными

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а_1n*х_n=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+….+а_2n*х_n=b₂

_{……………………………………………} (1)

а_m1*х₁+а_m2*х₂+….+а_mn*х_n=b_m

 

 

Основной матрицей данной системы является матрица

а₁₁ а_{12 ..…} а_{1n .}

а₂₁ а_{22 ….} а_2n

A = ………………

а_m1 а_{m2 …...}а_mn

Матрица, которая получается из основной матрицы посредством добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:

а₁₁ а_{12 ……} а_1n b₁

а₂₁ а_{22 …...} а_2n b₂

A = ……….…………._.

а_m1 а_{m2 …...}а_mn b_m

 

Систему (1) можно записать в виде: A*X=B , где:

x₁ b₁

x₂ b₂

X= … B = …

x_n b_m

 

Определение: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля.

2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число отличное от нуля.

3. Перестановка местами 2-х уравнений.

При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений те же преобразования производятся над расширенной матрицей системы.

Определение: Эквивалентными системами линейных уравнений называются системы, которые получаются одна из другой посредством элементарных преобразований.

 

Определение: Миноромматрицы называется определитель, образованный элементами этой матрицы, который получается из данной матрицы посредством выделения определенного равного числа строк и столбцов. Порядком минора называется порядок определителя (число строк определителя).

Примеры: 1 2 3 1 2

A = 2 8 9 M₂ = 4 5 - минор 2-го порядка.

4 5 7

M₁ = 1 - минор 1-го порядка.

 

 

Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. r(A) – ранг матрицы

 

Пример: 1 2 3

A = 4 5 6 определим ранг:

2 4 6

1 2 3 1 2

M₃= 4 5 6 =0 M₂= 4 5 =1*5-4*2=-3

2 4 6

т.о. r(A)=2 - ранг матрицы равен 2

Определение: Базисным минором матрицы называется любой ее минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы.

 

Теорема:При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

 

Определение: Ступенчатой матрицей называется матрица, которая имеет ступеньку из 0 (нулей), удовлетворяющую определенным свойствам (см. пример).

 

Примеры:

 

1 2 3

С = 0 1 4 - ступенчатая матрица r(C)=3

0 0 5

 

1 2 4 5

D = 0 0 1 2 - ступенчатая матрица r(D)=3

0 0 0 4

 

Теорема: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

 

Теорема: Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатой.

Пример:

 

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2

А = 2 0 1 3 ~ 0 -6 -1 -1 ~ 0 -6 -1 -1

3 3 2 4 0 -6 -1 -2 0 0 0 -1

 

При первом преобразовании:

- каждый элемент второй строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-2)

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3)

При втором преобразовании:

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом второй строки умноженным на (-1)

 

Теорема(критерий совместности Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна (имеет решения) тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

r(A)=r( A )

Следствие: Если ранги не равны, то системы соответственно не имеют решений.

 

Теорема(критерий определенности) : Совместная система линейных уравнений будет определенной, если ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных переменных.

 

Следствие: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. она неопределенная система.