Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из системы.

 

Схема решения:

1. Выписываем расширенную матрицу системы и
при помощи элементарных преобразований сводим ее к ступенчатому виду.

2. Определяем ранги основной и расширенной матрицы.

3. Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система не совместна, т.е. не имеет решения.

4. Если r(A)=r( A ) = n и равен числу неизвестных, то система определенная, т.е. имеет единственное решение.
С помощью элементарных преобразований приводим расширенную матрицу к удобному для последующего решения виду.
При помощи расширенной матрицы, полученной после элементарных преобразований, записываем эквивалентную систему и решаем ее.

5. Если r(A)=r( A ) < n,то в этом случае система неопределенная, т.е. она имеет бесконечное множество решений.

При помощи преобразованной расширенной матрицы:

- записываем эквивалентную систему по последней матрице,

- выбираем основные переменные (коэффициенты при которых входят в базисный минор). Их число будет равно r(A),

- оставшиеся переменные будут свободными,

- начинаем выражать основные переменные через свободные, придавая свободным переменным произвольные значения,

- получим бесконечное множество решений.

За основные переменные принимаются те переменные, коэффициенты при которых образуют базисный минор основной матрицы системы.

Примеры:

 

x + y = 1 1 1 1 1 1 1

2*x+2*y = 5 A = 2 2 5 ~ 0 0 3 ;

 

Поскольку r( A ) = 2 , r( A )=1 - система не имеет решений.

При преобразовании второй строки каждый член второй строки складывали с соответствующим членом первой строки, умноженным на (-2).

 

2*x+3*y - z = 1 2 3 -1 1 2 3 -1 1

2*x+4*y+2*z = 2 ; A = 2 4 2 2 ~ 0 1 3 1 ~

3*x - y + z = 4 3 -1 1 4 0 -11 5 5

 
 


2 3 -1 1 Поскольку r( A ) = 3 r( A ) = 3 и n = 3

~ 0 1 3 1 система имеет единственное решение.

0 0 38 16

 

При первом преобразовании:

- каждый элемент второй строки складывали с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-1),

- каждый элемент третьей строки умноженный на (+2) складывали с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3).

При втором преобразовании:

- каждый элемент третьей строки складывали с соответствующим элементом второй строки умноженным на (11).

 

2*x1-4*x2+6*x3 -2*x4 = 4 2 -4 6 -2 1

x1 + x2 - x3+2*x4 = 0 ; A = 1 1 -1 2 0 ~

 

2 -4 6 -2 4

~ 0 -6 8 -6 4

 

При преобразовании - каждый элемент второй строки умноженный на (-2) складывали с соответствующим элементом первой строки

 

Поскольку r( A ) = r( A ) = 2 < n = 4 - система имеет бесконечное множество решений, - две основные переменные x1 и x2 и две свободные - x3 и x4.

 

2*x1-4*x2+6*x3 -2*x4 = 4

- 6*x2+8*x3 -6*x4 = 4

 
 


2*x1-4*(-2/3+(4/3)*x3-x4)+6*x3 -2*x4 = 4

x2 = -2/3+(4/3)*x3 - x4

 

 

       
 
   
 


2*x1+8/3-16/3 - x3+6*x3 + 4*x4-2*x4 = 4 x1=2/3 –(1/3)*x3-x4

x2 = -2/3+(4/3)*x3-x4 ; x2=-2/3+(4/3)*x3-x4

 

x3 x4 - свободные переменные. Они могут принимать произвольные значения:

x3 = C1 , x4 = C2, x1=2/3-C1/3-C2, x2=-2/3+(4/3)*C1-C2 , C1,C2 Î R.