Теоремы о проекции вектора на ось

Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведениюдлины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.

Пр_lAB = AB * cosj , Ðj = Ð( AB, l )

 

Доказательство: рассмотрим 2 случая:

1) B A₁B₁ l , cosj = AC / AB

A j C

l AC = AB *cosj,

A₁ B₁ A₁B₁ = AB * cosj

Пр_lAB = AB * cosj

Что и требовалось доказать.

2) B j A₁B₁ l

C

A l AC = AB * cos ( 180⁰ - j )

B₁ A₁

A₁B₁ = - AB * cos j

- A₁B₁ = AB * cos j , т.о. Пр_lAB = AB * cosj

Что и требовалось доказать.

 

Теорема 2: Проекция вектора на числовую ось равна разности координат начала и конца вектора.

A(X_A,Y_A,Z_A) , B(X_B,Y_B,Z_B), Пр_XAB = X_B - X_A , Пр_YAB = Y_B - Y_A Пр_ZAB = Z_B - Z_A ,

Доказательство:

A₁B₁ = OA₁ + OB₁ , OA₁ = X_A ; OB₁ = - X_B

B

C A₁B₁ = X_A – X_B , - A₁B₁ = X_B – X_A

A l

B₁ О A₁ Пр_XAB = X_B - X_A

Что и требовалось доказать.

 

Теорема 3: Проекция суммы двух векторов на числовую ось равна сумме проекций этих векторов на данную ось.

Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b

Доказательство:

A2 Поскольку длина A₁^’ A₃^’ = A₁^’ A₃^’ + A₁^’ A₃^’ ,

a b

A3 то Пр_l A₁A₃ = Пр_l A₁A₂ + Пр_l A₂A₃ ,

A1

a + b l то есть Пр_l(a + b) = Пр_l a + Пр_l b ,

A₁^’ A₂^’ A₃^’

что и требовалось доказать.

 

Теорема4: При умножениивектора на число егопроекция также умножается на это число (отличное от нуля):

Пр_l (l* a ) = l* Пр_l a

Доказательство:

l* a (l>0)

Ðj = Ð( a , l )

a

j l Ðj₁ = Ð(l* a , l ), если l <0

j₁

l* a (l<0)

1) l>0, Пр_l (l* a ) = l* a * cosj = l * a * cosj = l* a *cosj =

 

= l* Пр_l a

2) l<0, Пр_l (l* a ) = l* a *cos(180⁰-j)= - l*a * cosj = - l * a *cosj =

 

= l* Пр_l a ,

что и требовалось доказать.

 

Если в пространстве задан вектор a, то для него вводят координаты (a_x, a_y, a_z) , a_x = Пр_x a , a_y = Пр_y a , a_z = Пр_z a .

Следствия из теорем:

1) a = (a_x, a_y, a_z) ,

b = (b_x, b_y, b_z) , a ± b = (a_x ±b_x, a_y ±b_y, a_z ±b_z)

2) l* a = (l*a_x, l*a_y, l*a_z)

 

3) Условие коллинеарности векторов:

 

a ôô b = a_x / b_x = a_y / b_y = a_z / b_z