Смешанное произведение векторов

 

Определение: Скалярное произведение векторного произведения векторов a и b на вектор c называют смешанным произведением векторов a , b и c .

(a x b) *с = a * b *с

Пусть a = (a_x ,a_y,a_z ) b = (b_x ,b_y,b_z ) с = (с_x ,с_y,с_z )

 

i j k

a x b = a_x a_y a_z =

b_x b_y b_z

 

a_y* a_z a_x a_z a_x a_y

= b_x b_y * i - b_x b_z * j + b_x b_y * k

 

a_y a_z a_x a_z a_x a_y

(a x b) * c = b_x b_y * c_x - b_x b_z * c_y + b_x b_y * c_z =

 

a_x a_y a_z

= b_x b_y b_z = a * b * c (условное обозначе-

c_x c_y c_z ние смешанного произведения).

 

Получили формулу для нахождения смешанного произведения:

 

a_x a_y a_z

a * b * c = b_x b_y b_z

c_x c_y c_z

 

Пример:

Даны 3 вектора. a = (1,2,1) , b = (3,4,0) , c = (0,1,1).

 

Найти смешанное произведение:

 

1 2 1

(a x b) * c = 3 4 0 = 4 + 3 – 6 = 1

0 1 1