Пусть даны векторы a, b, c , которые не лежат в одной плоскости.
d Построим на них параллелепипед:
C
j c a = OA b = OB c = OC
O B
B d = a x b êd ê= Sосн – площадь основания.
a
A V = Sосн * H объем тела. H – высота.
H = Прd c проекция вектора с на вектор d, который перпендикулярен плоскости основания.
Объем Vn = ê d ê * Прd c = d * c = ( a x b ) * c = a * b * c , если Ðj острый.
Если Ðj - тупой, то Vn = ê a * b * c ê - модуль смешанного произведения.
Теорема(условие компланарности 3-х векторов):
Три вектора a , b , c – компланарны a * b * c = 0
Доказательство:
1. Необходимость: Допустим, что a , b , c – компланарны, т.е. все находятся в одной плоскости.
d = a x b
d будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b ,
тогда c ^ d , т.к. c лежит в той же плоскости, что и a и b
поэтому: (a x b )* c = 0
2. Достаточность: Пусть a * b * c = 0 - исходное условие.
Пусть a , b , c - некомпланарны, т.е. они не лежат в одной плоскости.
Однако объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно лишь в том случае, когда все линии его граней лежат в одной плоскости.
Откуда a , b , c - компланарны , что и требовалось доказать.