Линейная зависимость (независимость) системы векторов

Определение: Система (1) называется линейно зависимой, если существуют числа k₁, k₂, …..k_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, но при этом выполняется следующее равенство:

k₁*a₁ + k₂* a₂ +……. + k_n*a_n = 0

 

Определение: Система векторов (1) называется линейно независимой, если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю:

k₁ = k₂ = …. = k_n = 0

 

Теорема(критерий линейной зависимости векторов) : Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы равен числу векторов, то данная система линейно независима.

Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы меньше числа векторов, то система векторов линейно зависима.

Пример: a ( 3, 0, 2, 4) b = 2 * a b - 2 * a = 0

b ( 6, 0, 4, 8) откуда: a и b линейно зависимы.

 

a ( 4, 1) 4 1 4 1

b ( 5, 6) 5 6 0 19

 

r(A)=2 – числу векторов – вывод – векторы линейно независимы, т.е.

k₁*a + k₂* b = 0 , если k₁ = k₂ = 0