Уравнение плоскости в пространстве

Пусть в пространстве задана произвольная плоскость a, которая проходит через точку M₀(x₀,y₀,z₀) при этом N=(A,B,C) – нормальный вектор, т.е. ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Z

Через некоторую точку, перпендикулярную

М₀ заданному вектору, можно провести плос-

N кость единственным образом:

Y

M 0 a A*(x-x₀) + B*(y-y₀) + C*(z-z₀) = 0

либо:

X A*x + B*y + C*z + D = 0,

где: D = - A*x₀ - B*y₀ - C*z₀

Данное уравнение является общим уравнением плоскости в пространстве.

 

Доказательство: Пусть M(x,y,z) - произвольная точка плоскости.

 

тогда M₀M = (x-x₀, y-y₀, z-z₀) и

MÎa M₀M ^ N M₀M*N = 0 A*(x-x₀)+B*(y-y₀)+C*(z-z₀)=0