Угол между плоскостями

Пусть даны 2 плоскости

 

a: A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁ = 0

 

b: A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂ = 0

Ðj = Ð(a, b) = Ð(N₁, N₂) N₁ =( A₁,B₁,C₁); N₂ =( A₂,B₂,C₂);

Из скалярного произведения векторов:

 

cos j = (N₁*N₂) / êN₁ ê*êN₂ ê =

= (A₁*A₂+B₁*B₂+C₁*C₂) / Ö( A₁² +B₁² +C₁²) * Ö ( A₂² +B₂² +C₂²)

 

4.2.2 Условия
параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей

1) a êêb. Две плоскости параллельны тогда и только тогда когда равны отношения соответствующих координатих нормальных векторови эти отношения не равны отношениям свободных членов (именно не равны, так как в противном случае плоскости будут не параллельными, а совпадающими в пространстве).

N₁êêN₂ A₁ / A₂ = B₁ / B₂ = C₁ / C₂ ¹ D₁ / D₂

 

2) Пусть

a ^ b N₁ ^ N₂ N₁ * N₂ = 0, т.о. A₁ *A₂ + B₁ * B₂ + C₁ * C₂ = 0

 

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю.