Угол между двумя прямыми

Ðj = Ð( l₁, l₂ ) = Ð(S₁, S₂)

cos j = (S₁*S₂) / êS₁ê*êS₂ê =

= (m₁*m₂+n₁*n₂+p₁*p₂) / ( Ö( m₁² +n₁² +p₁²) * Ö ( m₂² +n₂² +p₂²) )

4.3.6 Угол между прямой и плоскостью.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть дана прямая l и плоскость a

(x – x₁) (y – y₁) (z – z₁)

l: = =

m n p Ðj = Ð( a, l )

a: A*x + B*y + C*z + D = 0 Ð(90⁰-j) = Ð(N, S )

cos(90⁰ - j) = sin j = |A*m+B*n+C*p| / (Ö( A² +B² +C²) * Ö ( m² +n² +p²) ) ,

где N = (A, B, C), S = (m,n,p)

Знак модуля позволяет распространить выражение на случай тупого угла.

1) Пусть прямая l параллельна плоскости a :

lïïa N ^ S N *S = A*m + B*n + C*p = 0

A*x₁ +B*y₁ +C*z₁ +D ¹ 0

N M₁(x₁ ,y₁,z₁) – точка на прямой.

Второе условие исключает вариант

a расположения прямой на плоскости.

l Точка M₁(x₁ ,y₁,z₁) не принадлежит

плоскости. Прямая не в плоскости.

2) Пусть прямая l перпендикулярна плоскости a : l ^ a NïïS

N NïïS A/m = B/n = C/p