Кривые второго порядка на плоскости
Определение:Окружностью называют множество точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром, на заданное расстояние, называемое радиусом окружности.
Y
R (x – a)2 + (y – b)2 = R2 - уравнение окружности
a O
где O(a,b) – координаты центра окружности.
0 b X R - радиус окружности.
Определение: Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Уравнение эллипса: x2/a2 + y2/b2 = 1
Y
B1 b M A1, A2, B1, B2 – вершины эллипса
A1 F1 F2 A2 X отрезок A1A2 – большая ось эллипса.
-a -c O +c a OA2 – большая полуось эллипса.
B2 -b B1B2 –малая ось эллипса
OВ1 – малая полуось эллипса.
F1, F2 – фокусы эллипса.
F1M, F2M – фокальные радиусы.
По определению F1M + F2M = 2*a > F1F2 = 2*c
2*a > 2*c
b2 = a2 – c2
c = F1F2 / 2
Эксцентриситетом эллипса называют отношение величины с к величине а e = c/a < 1
Определение:Гиперболой называют множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
x2 y2
- = 1 - уравнение гиперболы.
a2 b2
Y
M
-a B1 a A1, A2 – вершины гиперболы
F1 b F2 A1A2 - действительная ось
A1 A2 X гиперболы
B2 -b B1B2 - мнимая ось гиперболы.
F1, F2 - фокусы гиперболы.
êF1M – F2M ê = 2*a < F1F2 = 2*c ,
b2 = c2 – a2 , эксцентриситет e = c/a > 1
Определение:Параболой называют множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от некоторой точки, называемой фокусом и от заданной прямой, называемой директрисой.
Y
FM = FN
F(p/2,0) – фокус параболы
x = -p/2 –директриса
- p/2 0 F X Уравнение параболы:
+ p/2
y2 = 2*p*x ,
N M
где p – параметр параболы.
СОДЕРЖАНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ. 3
1.1 Множества чисел и их обозначения................................................ 3
1.2 Основные операции над множествами............................................ 4
1.3 Логические символы........................................................................ 4
1.4 Специальные математические символы.......................................... 4
2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА......................................................................... 5
2.1 Определители и их свойства............................................................ 5
1.2 Свойства определителей.................................................................. 6
1.3 Матрицы и их свойства.................................................................... 9
1.4 Операции над матрицами................................................................ 9
1.5 Экономическая интерпретация действий над матрицами............ 11
1.6 Системы линейных уравнений...................................................... 12
1.7 Решение систем линейных уравнений
при помощи формул Крамера...................................................... 13
1.8 Решение систем линейных уравнений матричным способом...... 14
2.9 Линейные системы общего вида.................................................... 15
2.10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса................ 18
2.11 Экономическая интерпретация систем линейных уравнений...... 20
3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ............................................. 21
3.1 Основные понятия.......................................................................... 21
3.2 Действия над векторами................................................................ 21
3.3 Свойства действий над векторами................................................. 22
3.4 Проекция вектора на ось............................................................... 22
3.5 Координаты точки на числовой оси
на плоскости и в пространстве..................................................... 23
3.6 Теоремы о проекции вектора на ось............................................. 24
3.7 Длина вектора. Направляющие косинусы вектора...................... 25
3.8 Понятие базиса. Разложение вектора по базису........................... 26
3.9 Скалярное произведение векторов............................................... 27
3.9.1 Свойства скалярного произведения......................................... 27
3.9.2 Следствия из Свойств скалярного произведения.................... 27
3.9.3 Скалярные произведения векторов через координаты........... 27
3.10 Векторное произведение двух векторов....................................... 28
3.11 Смешанное произведение векторов.............................................. 29
3.11.1 Свойства смешанного произведения........................................ 30
3.12 Геометрический смысл смешанного произведения векторов...... 30
3.13 N-мерные векторы......................................................................... 31
3.14 Линейная зависимость (независимость) системы векторов.......... 32
3.15 Разложение вектора по некоторому базису.................................. 32
4. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙОЙ ГЕОМЕТРИИ....................... 33
4.1 Прямая линия на плоскости и в пространстве.
Прямая на плоскости..................................................................... 33
4.1.1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом..................................................................................... 33
4.1.2 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки...... 34
4.1.3 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если y1=y2................................................................................... 34
4.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если x1=x2................................................................................... 34
4.1.5. Угол между двумя прямыми.................................................... 34
4.1.6 Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых.............................................................................. 34
4.1.7 Общее уравнение прямой......................................................... 35
4.1.8 Частные случаи общего уравнения прямой............................. 35
4.1.9 Уравнение прямой на плоскости в отрезках............................ 35
4.1.10 Расстояние от точки до прямой................................................ 36
4.2 Уравнение плоскости в пространстве........................................... 36
4.2.1 Угол между плоскостями.......................................................... 36
4.2.2 Условия параллельности и перпендикулярности
2-х плоскостей........................................................................... 37
4.2.3 Расстояние от плоскости до точки............................................ 37
4.2.4 Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.. 37
4.3 Прямая линия в пространстве....................................................... 38
4.3.1 Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве........................................................................ 38
4.3.2 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки. 38
4.3.3 Прямая, как линия пересечения двух плоскостей.................... 39
4.3.4 Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. 39
4.3.5 Угол между двумя прямыми..................................................... 40
4.3.6 Угол между прямой и плоскостью. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 40
4.4 Кривые второго порядка на плоскости........................................ 41