Свойства определителей
1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы с одинаковыми номерами, то значение определителя при этом не изменится(справедливо как для определителя 2-го порядка, так и 3-го).
 | |||||
 |  | ||||
a11 a12 a13 a11 a21 a31
a21 a22 a23 = a12 a22 a32
a31 a32 a33 a13 a23 a33
Это свойство легко доказывается, если подсчитать значения определителей слева и справа.
2. Если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то значение определителя изменит свой знакна противоположный.
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a21 a22 a23 = - a11 a12 a13
a31 a32 a33 a31 a32 a33
3. Если в определителе есть две одинаковыестроки или столбца, то этот определитель равен нулю.
4. Если элементы какой либостроки или столбца, имеют общий числовой множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
| |
a*a a*b a b
= a*
c d c d
5. Если в определителе элементы двухстрок или столбцов пропорциональны, то определитель равен НУЛЮ.
 | |
a*a a*b
a b = 0
6. Если в определителе элементы какой-либостроки или столбца представляют собой сумму 2-х слагаемых, то данный определитель можно записать в виде суммы двух определителей.
|
a11 + a’11 a12 + a’12 a13 + a’13
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a’11 a’12 a’13
= a21 a22 a23 + a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
7. Если к элементам какой либостроки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженные на число отличное от 0 (нуля), то значение определителя не изменится.
|
a11 a12 a13 a11 + l*a21 a12 + l*a22 a13+l*a23
a21 a22 a23 = a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
8. Разложение определителя по строке или столбцу.
Любой определитель равен сумме произведений элементов какой либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
|
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11*A11 + a12*A12* + a13 *A13 =
a31 a32 a33 = a12*A12 + a22*A22* + a32 *A32 = ………..
Доказательство:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32 * a13 -
a31 a32 a33 - a31*a22 * a13 – a21*a12 * a33 – a32*a23 * a11 =
=a11*(a22*a33 - a32*a23) - a12*(a21*a33 - a23*a31) + a13 *(a21*a32 – a31*a22 ) =
= a11*A11 + a12*A12 + a13 *A13
Пример:
|
1 2 3 2 -1
4 2 -1 = 1*A11 + 2*A12 + 3*A13 = 1*(-1)2 * 1 1 +
3 1 1
4 -1 4 2
+ 2*(-1)3 * 3 1 + 3 *(-1)4 * 3 1 = 1*(2 – (-1)) +
2*(-1) * (4+3) + 3*(4 – 6) = 3 – 14 – 6 = - 17
9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
a11*A21 + a12*A22* + a13 *A23 = 0
Определение: Определителем n-ого порядка называется число, которое обозначается следующим символом и вычисляется по существующей формуле:
 |  |
a11 a12 a13 …… a1n
a21 a22 a23 …… a2n
……………………………. = a11*A11 + a12*A12* +……. + a1n *A1n
an1 an2 an3 …… ann
Пример: Вычислить определитель 4-го порядка :
|  |
1 2 3 4
0 1 3 -1 1 3 -1
2 0 1 -2 = 1 * 0 1 -2 -
1 2 3 1 2 3 1
0 3 -1 0 1 -1 0 1 3
- 2 * 2 1 -2 + 3 * 2 0 -2 - 4 * 2 0 1 =
1 3 1 1 2 1 1 2 3
= 1*(-3) – 2*(-17) +3*(-8) – 4*7 = - 3 + 34 – 24 – 28 = - 21