Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера

Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+а₁₃*х₃=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+а₂₃*х₃=b₂

а₃₁*х₁+а₃₂*х₂+а₃₃*х₃=b₃

Введем обозначения: за определитель D обозначим определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных. В определителях D₁, D₂, D₃ соответствующий столбец коэффициентов заменен столбцом свободных членов уравнений:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ b₁ а₁₂ а₁₃

D= а₂₁ а₂₂ а_{23 ,} D₁= b₂ а₂₂ а_{23 ,}

а₃₁ а₃₂ а₃₃ b₃ а₃₂ а₃₃

а₁₁ b₁ а₁₃ а₁₁ а₁₂ b₁

D₂= а₂₁ b₂ а_{23 ,} D₃= а₂₁ а₂₂ b₂

а₃₁ b₃ а₃₃ а₃₁ а₃₂ b₃

 

Теорема: если определитель D отличен от 0, то данная система линейных уравнений имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

X₁= D₁/D X₂= D₂/D X₃= D₃/D - формулы Крамера.

Доказательство:

Умножим первое уравнение данной системы на А₁₁, второе – на А₂₁, третье – на А₃₁ и все сложим. Получим следующее равенство:

(a₁₁*A₁₁ + a₂₁* A₂₁+ a₃₁* A₃₁ )*X₁ + (a₁₂ * A₁₁+ a₂₂* A₂₁ + a₃₂* A₃₁ ) * X₂ +

 

+ (a₁₃*A₁₁ + a₂₃* A₂₁ + a₃₃* A₃₁ )*X₃ = (b₁*A₁₁ +b₂*A₂₁ + b₃*A₃₁ ) = D₁

поскольку: (a₁₁*A₁₁ + a₂₁* A₂₁+ a₃₁* A₃₁ ) = D

(a₁₂ * A₁₁+ a₂₂* A₂₁ + a₃₂* A₃₁ ) = 0

(a₁₃*A₁₁ + a₂₃* A₂₁ + a₃₃* A₃₁ ) = 0

D *X₁ = D₁ и X₁ = D₁ / D

Аналогично получим:

D *X₂ = D₂ и X₂ = D₂ / D , если домножим на A₁₂; A₂₂; A₃₂ .

D *X₃ = D₃ и X₃ = D₃ / D , если домножим на A₁₃; A₂₃; A₃₃ .

 

Верность решения доказана.

 

Пример:

x+ 2*y + z = 4 1 2 1

3* х - 5*y+3*z = 1 ; D = 3 -5 3 = 5+12+21+10-21+6 =

2*х + 7*y – z = 8 2 7 -1 = 33

 

4 2 1

D₁= 1 -5 3 = 20+7+48+40-84+2=33 x = D₁ / D = 33/33 = 1

8 7 -1

 

1 4 1

D₂= 3 1 3 = -1+24+24-2-24+12=33 y = D₂ / D = 33/33 = 1

2 8 -1

 

1 2 4

D₃= 3 -5 1 = -40+84+4+40-7-48=33 z = D₃ / D = 33/33 = 1

2 7 8

 

Следствие: если определитель D равен 0, то система либо не имеет решений, т.е. несовместна, либо имеет бесконечно много решений, т.е. неопределенная.