Тема 28. Прямые и плоскости в пространстве

Задание 61.Определите взаимное расположение прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

1.СА и (DCB); ВA₁и (DCB); D₁А₁ и (DCB);

BC₁ и (DD₁C₁); B₁C и DC₁; DD₁ и CC₁;

BB₁ и DC; A₁B₁и BC; (A₁BB₁ ) и (CDC1).

2.СС₁ и (DCB); AA₁и (DCB); D₁C₁и (DCB);

B₁C₁и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; A₁B и DC₁.

3.СС₁ и (ACB); AA₁ и (DCC₁); D₁C₁ и (ACB);

B₁C и (DD₁C₁); BC₁ и DC₁; A₁D₁ и DC;

BB₁и AC; A₁B и DC; (A₁BC) и (ADD₁).

4.СA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (CBD);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁и DC₁; A₁D₁и DC₁;

BB₁и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

5.B₁C и DC₁; DD₁ и CC₁; BC₁ и (DD₁C₁);

BB₁ и DC; A₁B₁ и BC; (A₁BB₁) и (CDC₁);

СА и (DCB); ВA₁ и (DCB); D₁А₁ и (DCB);

6.BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и DD₁C ;

СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁ .

7.B₁C и (DD₁C₁); BC₁ и DC₁; A₁D₁ и DC;

СС₁ и (ACB); AA₁ и (DCC₁); D₁C₁ и (ACB);

BB₁ и AC; A₁B и DC; (A₁BC) и (ADD₁).

8.B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

СA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (CBD);

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

9.СА и (DCB); ВA₁ и (DCB); D₁А₁ и (DCB);

BC₁ и (DD₁C₁); B₁C и DC₁; DD₁ и CC₁;

BB₁ и DC; A₁B₁ и BC; (A₁BB₁ ) и (CDC₁).

10.СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и DD₁C .

11.СA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (CBD);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

12.B₁C и DC₁; DD₁и CC₁; BC₁ и (DD₁C₁);

BB₁ и DC; A₁B₁ и BC; (A₁BB₁ ) и (CDC₁);

СА и (DCB); ВA₁ и (DCB); D₁А₁ и (DCB).

13.BB₁и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DD₁C) ;

СС₁ и (DCB); AA₁и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁и (DD₁C₁); B₁C₁и DC₁; A₁D₁ и DC₁.

14.B₁C и (DD₁C₁); BC₁ и DC₁; A₁D₁ и DC;

СС₁ и (ACB); AA₁ и (DCC₁); D₁C₁и (ACB);

BB₁ и AC; A₁B и DC; (A₁BC) и (ADD₁).

15.B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

СA₁и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (CBD);

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

16.BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и DD₁C ;

СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁ .

17.A₁B и DC; BC₁ и DC₁; A₁D₁ и DC;

СС₁ и (ACB); AA₁ и (DCC₁); D₁C₁ и (ACB);

BB₁ и AC; B₁C и (DD₁C₁); (A₁BC) и (ADD₁).

18.BB₁ и AC; B₁C₁ и DC₁; СА и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); ВA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB);

D₁C₁ и (CBD); A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

19.СA₁ и (DCB); D₁А₁ и (DCB); A₁D1 и DC₁;

BC₁ и (DD₁C₁); B₁C и DC₁; DD₁ и CC₁;

BB₁ и DC; A₁B₁ и BC; (A₁BB₁ ) и (CDC₁).

20.СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и DD₁C .

21.СA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁и (CBD);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

BB₁ и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DCC₁).

22.B₁C и DC₁; DD₁ и CC₁; BC₁и (DD₁C₁);

BB₁ и DC; A₁B₁и BC; (A₁BB₁) и (CDC₁);

СА и (DCB); ВA₁и (DCB); D₁А₁ и (DCB).

23.BB₁и AC; A₁B и BC; (AA₁B) и (DD₁C);

СС₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (DCB);

B₁C₁ и (DD₁C₁); B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁.

24.BC₁и DC₁ ; B₁C и (DD₁C₁); A₁D₁ и DC;

СС₁и (ACB); AA₁ и (DCC₁); D₁C₁ и (ACB);

BB₁ и AC; A₁B и DC; (A₁BC) и (ADD₁).

25.A₁B и BC; B₁C₁ и DC₁; A₁D₁ и DC₁;

СA₁ и (DCB); AA₁ и (DCB); D₁C₁ и (CBD);

B₁C₁ и (DD₁C₁); BB₁ и AC; (AA₁B) и (DCC₁).

Задание 62.Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

1.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AB.

2.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСB.

3.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AD.

4.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости A₁AB.

5.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A₁B₁.

6.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСD.

7.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CD.

8.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA₁B₁.

9.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B₁C_1.

10.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA₁D₁.

11.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой C₁D₁.

12.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости BB₁C₁.

13.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B₁B.

14.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости ADD₁.

15.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой D₁D.

16.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости DD₁C₁.

17.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A₁D₁.

18.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B₁C₁B.

19.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CC₁.

20.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B₁C₁D₁.

21.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой BA.

22.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B B₁C.

23.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B₁C₁.

24.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости CB₁C₁.

25.Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой DA.

Задание 63.Решите расчетные задачи по теме «Прямая и плоскость.

1.Из данной точки на плоскость опущен перпендикуляр и проведены две наклонные. Одна наклонная на 6 см длиннее другой. Их проекции на плоскости соответственно равны 27 см и 15 см. Найти длину перпендикуляра.

2.Отношение длин двух отрезков, каждый из которых соединяет точки параллельных плоскостей, равно 2 : 3. Эти отрезки с плоскостями составляют углы, отношение которых равно 2. Найти косинус большего из этих углов.

3.Угол между плоскостями α и β равен 60⁰. Расстояние от точки А на плоскости α до линии пересечения плоскостей равно 3. Найти расстояние от точки А до плоскости β.

4.Из одной точки плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 1 : 2. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны 1 и 7.

5.Из точки О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции к плоскости трапеции восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 15 см. Длина диагонали трапеции 12 см, при этом меньшее основание в два раза короче большего основания. На каком расстоянии от вершины большего основания находится точка М ?

6.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через точки В и С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B₁ и C₁ соответственно. Найдите длину отрезка ВB₁, если СC₁ = 15 см и АС : ВС = 2 : 3.

7.Стороны треугольника 10, 17 и 21 см. Из вершины наибольшего угла восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, длина которого 15 см. Найти расстояние от конца (не лежащего на плоскости) перпендикуляра до наибольшей стороны треугольника.

8.Плоскости α и β пересекаются под углом 45⁰. Расстояние от точки А на плоскости α до плоскости β равно 2. Найти расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей.

9.Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Конец В отрезка отстоит от плоскости α на расстоянии 8. На каком расстоянии от плоскости находится конец А отрезка, точкой О отрезок АВ делится в отношении АО : ОВ = 3 : 2?

10.Концы двух отрезков с длинами 10 и 15 см лежат на параллельных плоскостях. Чему равна проекция второго отрезка на одну из этих плоскостей, если проекция первого отрезка на эту плоскость равна ?

11.Катеты прямоугольного треугольника 12 и 16 см. Найти расстояние от точки, отстоящей от вершин треугольника на 26 см, до плоскости треугольника.

12.Через центр О квадрата АВСD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Найти угол между плоскостями BCF и АВСD, если FB = 5, ВС = 6.

13.Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 6. Проекции наклонных на эту плоскость равны 27 и 15. Найти расстояние от данной точки до плоскости.

14.Через вершину В прямого угла треугольника АВС проведена прямая b, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми b и AD, если АВ = 3 и BD = 4.

15.Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 3 : 5. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны и 17.

16.Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью угол 45⁰ , а между собой угол в 60⁰. Найти расстояние между концами наклонных.

17.Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии b, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 30⁰ и 45⁰, а между собой прямой угол. Найти расстояние между концами наклонных.

18.Через вершину С прямого угла треугольника АВС проведена прямая а, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми а и AВ, если АС =15, BС = 20.

19.Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 23 и 33 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.

20.Из данной точки проведены перпендикуляр и две наклонные к прямой. Наклонные равны 41 и 50 см. Проекции наклонных на прямой относятся как 3 : 10. Найти длину перпендикуляра.

21.Отрезок АВ пересекает плоскость α. Его концы отстают от плоскости на расстоянии 2 и 4 см. Найти угол между этим отрезком и плоскостью α, если проекция отрезка на плоскость равна 6 см.

22.Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 13 и 37 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 1 : 7.

23.Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 и 15 см. Найти проекцию второй наклонной на эту плоскость, если проекция первой равна 7 см.

24.Расстояния от точки А до граней прямого двугранного угла равны 5 и 12 см. Найти расстояние от точки А до ребра двугранного угла.

25.Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6. Найти расстояние от этой точки до плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 см и 4см.