Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками .
В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точку и положим . Тогда сумма вида
называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и способа выбора точек на отрезках разбиения. Тогда функция называется интегрируемой на , а число S – определенным интегралом от на и обозначается .
Свойства определенного интеграла
1)
2)
3)
4)
5)
6) , если функция четная
, если функция нечетная
7) Формула Ньютона-Лейбница
Геометрические приложения определенного интеграла
1. Если функция неотрицательна на отрезке , то площадь S под кривой на (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми ) численно равна определенному интегралу от на данном отрезке:
(геометрический смысл определенного интеграла)
2. Если функция неположительна на отрезке , то площадь S над кривой на численно равна определенному интегралу от на данном отрезке, взятому со знаком «минус»:
3. Если на отрезке , то площадь S фигуры, заключенной между кривыми и на этом отрезке определяется формулой
.