Определенный интеграл

Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками .

В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точку и положим . Тогда сумма вида

называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и способа выбора точек на отрезках разбиения. Тогда функция называется интегрируемой на , а число S – определенным интегралом от на и обозначается .

Свойства определенного интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

6) , если функция четная

, если функция нечетная

7) Формула Ньютона-Лейбница

Геометрические приложения определенного интеграла

1. Если функция неотрицательна на отрезке , то площадь S под кривой на (площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми ) численно равна определенному интегралу от на данном отрезке:

(геометрический смысл определенного интеграла)

2. Если функция неположительна на отрезке , то площадь S над кривой на численно равна определенному интегралу от на данном отрезке, взятому со знаком «минус»:

3. Если на отрезке , то площадь S фигуры, заключенной между кривыми и на этом отрезке определяется формулой

.