Понятие функции нескольких переменных

Функции двух переменных

Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке поставлено в соответствие по некоторому правилу число . Тогда говорят, что на множестве D задана функция . Аргументом этой функции служит точка Р, пробегающая множество D, а значением – величина (переменная) z. Положение каждой точки Р определяется парой ее координат и : . Координаты этой точки независимы друг от друга и поэтому можно сказать, что задана функция .

Определение. Переменная величина называется функцией двух независимых переменных и , заданной на некотором множестве D, если по некоторому закону или правилу каждой паре соответствует определенное значение .

Пример. Пусть и - длины сторон прямоугольника, - его площадь. Тогда - функция двух независимых переменных и , заданная на множестве .

Пусть функция определена в некоторой области D, а точка - либо точка этой области, либо граничная для D, в самой точке функция может быть не определена.

Определение. Число есть предел функции при , если для любого найдется такое, что во всех точках Р области D, попавших в - окрестность точки , выполняется неравенство:

.

Пусть задана в области D и - внутренняя точка области D. Дадим аргументам и приращения и . Тогда- полное приращение функции в точке .

Условие непрерывности в точке можно записать так:

.

 

Функции трех переменных

Пусть D – некоторое множество точек в трехмерном пространстве . Если каждой точке поставлено в соответствие по некоторому правилу число , то на множестве D задана функция . Поскольку каждая точка Р определяется тремя координатами , то есть функция трех независимых переменных, заданная на множестве D:

,

где D – область определения функции .

Пример. - объем параллелепипеда со сторонами .

пусть задана функция , тогда множество точек, в которых она принимает одно и то же значение С, называется поверхностью уровня. Ее уравнение :

.