Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций двух переменных

Определение. Частными производными в точке по и называют соответственно и .

Обозначения: , или , , или , или , .

Пример.

, .

Определение. Выражение вида

называется полным дифференциалом функции в точке .

Производная по направлению определяет скорость изменения функции в этом направлении и вычисляется следующим образом:

,

где - угол между вектором и осью ОХ.

Градиент функции

В каждой точке области D, где задана функция (скалярное поле), определим вектор , координатами которого будут частные производные , вычисленные в этой точке:

.

Вектор называется градиентом функции, и обозначают .

Экстремумы функции нескольких переменных

Функция в точке имеет максимум, если в любой точке достаточно малой - окрестности точки Р выполняется неравенство:

,

и минимум, если .

Теорема (необходимый признак экстремума функции ).

Если в точке экстремума функция имеет частные производные первого порядка, то они равны нулю:

.

Теорема (достаточный признак экстремума функции ).

Пусть в некоторой внутренней точке области D функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если выполнены равенства и выражение:

,

то в точке - экстремум. При этом если , то в точке - максимум, если , то в точке - минимум.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. 1) Составим и решим систему уравнений

; ; ; ; .

Таким образом, получили две точки, «подозрительные» на экстремум:

и .

2) Вычислим вторые производные данной функции:

, , .

Найдем значения этих производных в точках и :

а) : , , . Тогда .

Таким образом, точка не является экстремумом функции .

б) : , , . Тогда .

Таким образом, точка является экстремумом функции , а именно минимумом функции, так как .