Дифференциальное исчисление функций двух переменных
Определение. Частными производными в точке по и называют соответственно и .
Обозначения: , или , , или , или , .
Пример.
, .
Определение. Выражение вида
называется полным дифференциалом функции в точке .
Производная по направлению определяет скорость изменения функции в этом направлении и вычисляется следующим образом:
,
где - угол между вектором и осью ОХ.
Градиент функции
В каждой точке области D, где задана функция (скалярное поле), определим вектор , координатами которого будут частные производные , вычисленные в этой точке:
.
Вектор называется градиентом функции, и обозначают .
Экстремумы функции нескольких переменных
Функция в точке имеет максимум, если в любой точке достаточно малой - окрестности точки Р выполняется неравенство:
,
и минимум, если .
Теорема (необходимый признак экстремума функции ).
Если в точке экстремума функция имеет частные производные первого порядка, то они равны нулю:
.
Теорема (достаточный признак экстремума функции ).
Пусть в некоторой внутренней точке области D функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если выполнены равенства и выражение:
,
то в точке - экстремум. При этом если , то в точке - максимум, если , то в точке - минимум.
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение. 1) Составим и решим систему уравнений
; ; ; ; .
Таким образом, получили две точки, «подозрительные» на экстремум:
и .
2) Вычислим вторые производные данной функции:
, , .
Найдем значения этих производных в точках и :
а) : , , . Тогда .
Таким образом, точка не является экстремумом функции .
б) : , , . Тогда .
Таким образом, точка является экстремумом функции , а именно минимумом функции, так как .