Комплексные числа и действия над ними

Определение. Комплексным числом называется выражение , где - действительные числа, а ; называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (); - мнимая часть комплексного числа ().

Два комплексных числа и отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными.

Числа и равны (), если и .

Для геометрического изображения комплексного числа введем понятие комплексной плоскости. На плоскости ХОУ комплексное число изображается точкой (или вектором ); ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ – мнимой.

Действия над комплексными числами

1. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .

2. Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число .

3. Чтобы найти произведение двух комплексных чисел и , следует перемножить их по обычным правилам алгебры, учитывая, что :

.

Заметим, что произведение двух сопряженных чисел – неотрицательное действительное число:

.

4. Для деления комплексных чисел и () надо домножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Обозначим через и полярные координаты точки . Тогда и - тригонометрическая форма комплексного числа. Число называется модулем, а - аргументом комплексного числа : , при этом

, , , .

Формула Муавра для возведения комплексного числа в степень:

.

Формула корня n-й степени из комплексного числа:

.