Определение. Комплексным числом называется выражение , где - действительные числа, а ; называется действительной (вещественной) частью комплексного числа (); - мнимая часть комплексного числа ().
Два комплексных числа и отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными.
Числа и равны (), если и .
Для геометрического изображения комплексного числа введем понятие комплексной плоскости. На плоскости ХОУ комплексное число изображается точкой (или вектором ); ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ – мнимой.
Действия над комплексными числами
1. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число .
2. Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число .
3. Чтобы найти произведение двух комплексных чисел и , следует перемножить их по обычным правилам алгебры, учитывая, что :
.
Заметим, что произведение двух сопряженных чисел – неотрицательное действительное число:
.
4. Для деления комплексных чисел и () надо домножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
Тригонометрическая форма комплексного числа
Обозначим через и полярные координаты точки . Тогда и - тригонометрическая форма комплексного числа. Число называется модулем, а - аргументом комплексного числа : , при этом
, , , .
Формула Муавра для возведения комплексного числа в степень:
.
Формула корня n-й степени из комплексного числа:
.