Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. называется обыкновенным; если от нескольких переменных и производные, входящие в д.у. – частные, то дифференциальным уравнением с частными переменными.

Так как наиболее частным случаем является изучение тех или иных характеристик процессов, протекающих во времени, то независимую переменную в обыкновенном д.у. будем обозначать через t, а функцию через х.

Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в д.у. называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой д.у. обращается в тождество.

Общий вид д.у. первого порядка есть

.

Задача Коши для д.у. первого порядка, разрешенного относительно производной:

найти определенную на некотором интервале функцию , имеющую на производную такую, что

для всех

и удовлетворяющую условию

,

где , а в точке определена функция .

Значения , при этом называются начальными данными, а условие - начальным условием.

Итак, задача Коши для д.у. состоит в нахождении решения д.у., удовлетворяющего заданному начальному условию.

 

Виды дифференциальных уравнений первого порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

;

;

;

;

.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим обе части д.у. на , получим уравнение

,

которое является уравнением с разделенными переменными.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

Разделим обе части уравнения на , получим

;

;

;

;

;

.

3. Однородные уравнения первого порядка

Уравнение вида

,

где - однородная функция нулевого измерения, называется однородным д.у. первого порядка.

Заменой , д.у. сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

;

.

Сделаем замену , , получим

;

.

Разделим обе части уравнения на , получим

;

;

;

;

.

Тогда, .

4. Уравнение Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

Для решения уравнения делают замену

.

Тогда уравнение Бернулли примет вид

;

.

Найдем из решения уравнения , найдем из решения уравнения .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Сделаем замену , получим

;

.

1) решим уравнение

;

;

;

;

;

2) решим уравнение

;

;

;

;

;

;

;

;

Тогда, .

5. Линейное уравнение первого порядка

Уравнение Бернулли при , т.е. дифференциальное уравнение вида

называется линейным уравнением первого порядка.

Замена и метод решения линейного д.у. первого порядка аналогичны замене и методам решения уравнения Бернулли.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Сделаем замену , получим

;

;

1) Решим уравнение ;

;

;

;

;

2) Решим уравнение ;

;

;

;

;

.

Тогда, решением д.у. является функция .