Матрицы и определители

Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Сокращенно обозначается .

Числа называются элементами матрицы А.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называют порядком матрицы.

Совокупность элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, а элементы - побочную диагональ.

Так, для матрицы

главная диагональ – это числа 1, 4, 3, побочная диагональ – 7, 4, 6.

Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю:

Единичная матрица – это матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, все остальные элементы равны нулю:

Квадратная матрица, под главной диагональю которой стоят нули, называется верхнетреугольной; соответственно определяется нижнетреугольная матрица:

- верхнетреугольная матрица,

- нижнетреугольная матрица.

Симметричной называется квадратная матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Действия над матрицами

1. Суммой двух матриц и одного порядка называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Из определения следует, что выполняются операции коммутативности сложения А+В=В+А и ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.

2. При умножении матрицы на число k каждый ее элемент умножается на это число.

Отсюда следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

(α+β)А=αА+β;

α (А+В)= αА+ αВ,

где α и β – числа.

3. Умножение матриц. Пусть заданы матрицы и .

Произведением А×В называется матрица С порядка m×k:

А·В=·=С=

элементы которой вычисляются по формулам:

;

и т.д.

Операция перемножения матриц не коммутативна, то есть АВ≠ВА.

4. Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, и наоборот.

Пример. Найти матрицу С=В(3А-2В), где А=и В=.

Решение. 1) Найдем матрицу (3А-2В)= 3- 2=- =.

2) С=В(3А-2В) = =.

 

Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду

1) можно менять строки (столбцы) местами;

2) можно умножать элементы строки на одно и то же число, отличное от нуля;

3) можно складывать (вычитать) строки друг с другом.

Верхнетреугольная матрица, у которой под главной диагональю все элементы равны нулю, называется приведенной к ступенчатому виду. При этом элементы, стоящие на главной диагонали называются угловыми элементами.

Ранг матрицы А – это максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.

Утверждение. В ступенчатой матрице строки, содержащие ненулевые угловые элементы, линейно независимы. Отсюда следует, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов.

Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса

Рассмотрим этот метод на примере матрицы А=

Поменяем вторую и первую строки местами (для ручного счета удобно, чтобы элемент был равен 1 или -1 (если это возможно)).

Получим матрицу

В дальнейшем первую строку менять не будем. Теперь с помощью элемента =-1 образуем нули в первом столбце, во второй, третьей и четвертой строках. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на число 2, из третьей строки вычтем первую, к четвертой прибавим первую строку:

 

Поменяем местами в этой матрице вторую и третью строки, и в дальнейшем первая и вторая строки меняться не будут. И с помощью элемента 1 получим нули во втором столбце в третьей и четвертой строках:

Здесь из третьей строки вычли вторую, умноженную на 5, а из четвертой – вторую, умноженную на 6.

Из четвертой строки вычтем третью, получим матрицу:

Угловые элементы -1, 1, 1, их число равно 3. следовательно, ранг матрицы равен 3.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Теорема 2. Любую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.