Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве и ее уравнения
Пусть в пространстве 
введена прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость Q. Поверхности Q соответствует некоторое уравнение 
. Поверхность, определяемая этим уравнением есть геометрическое место точек в пространстве , координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это означает, что данному уравнению удовлетворяют координаты x, y, z каждой точки, лежащей на поверхности Q, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. Уравнение называется уравнением данной поверхности Q.
1. Общее уравнение плоскости
,
где 
.
Уравнение плоскости, в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С или D равен нулю, называется неполным уравнением плоскости.
2. Уравнение плоскости, проходящей через точку 
с данным вектором нормали 
Вектором нормали к плоскости называется ненулевой вектор , перпендикулярный к данной плоскости имеет вид:
.
3. Уравнение плоскости в отрезках
,
где 
- это координаты точек 
, 
, 
, лежащих на координатных осях.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
, 
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
, 
.
Решение.
; 
;
;
;
;
.
Пример 2. Составить уравнение плоскости с нормальным вектором 
, проходящей через точку 
.
Решение. ;
;
;
.
Прямая и ее уравнения в пространстве
1. Параметрические уравнения прямой в пространстве
2. Каноническое уравнение прямой в пространстве
.
Вектор 
- направляющий вектор прямой (вектор, параллельный данной прямой).
3. ,Общее уравнение прямой (прямая как пересечение двух плоскостей)
Рассмотрим две плоскости
;
.
Тогда уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей имеет вид:
.
Расстояние от точки до прямой
Пусть дана плоскость и точка . Расстояние 
от точки до плоскости вычисляется по формуле:
.
Угол между плоскостями
Углом 
между двумя плоскостями
;
Считается угол между их нормалями 
и 
:
=
.
Отсюда получим условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0.
Условие параллельности двух плоскостей:
.
Угол между двумя прямыми в пространстве
Пусть заданы канонические уравнения двух прямых:
;
Тогда острый угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и вычисляется следующим образом:
=
.
Условие перпендикулярности прямых:
=0.
Условие параллельности двух прямых:
.
Угол между прямой и плоскостью
Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:
=
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
=0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
2.4 Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра» и разделу 2 «Элементы аналитической геометрии»
Задание 1. Найти скалярное произведение 
Задание 2. При каком значении 
векторы 
и 
векторы ортогональны?
Задание 3. Найти векторное произведение векторов 
и 
?
Задание 4. Являются ли векторы 
линейно зависимыми?
Задание 5. Вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на векторах .
Данные для выполнения заданий 1, 2, 3, 4, 5 необходимо взять из таблицы 1 согласно своему варианту.
Таблица 1
| Номер варианта |
| 
|
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
|
| 
| |
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
| |
| 
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
| 
| |
|
|
| 
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
| 
|
Задание 6. В треугольнике 
найти уравнение медианы, высоты, проведенных из вершины 
, а также уравнение средней линии 
, параллельной основанию 
. Вычислить длину найденной высоты.
Координаты точек 
заданы в таблице 2.
Таблица 2
| Номер варианта | 
| 
| 
|
| (3,2) | (-2,5) | (6,-2) | |
| (-2,6) | (3,-1) | (1,4) | |
| (2,5) | (3,3) | (-1,4) | |
| (2,-3) | (1,0) | (-2,-4) | |
| (5,3) | (1,4) | (-2,-3) | |
| (-1,-2) | (0,-3) | (2,1) | |
| (1,5) | (-3,0) | (-6,1) | |
| (-3,-5) | (2,-2) | (1,0) | |
| (1,1) | (4,6) | (-5,-1) | |
| (3,2) | (4,-1) | (6,0) | |
| (5,-5) | (2,3) | (-4,-3) | |
| (1,4) | (2,2) | (-1,6) | |
| (2,-3) | (-6,2) | (4,0) | |
| (2,6) | (-1,-2) | (-3,-5) | |
| (-1,2) | (4,-2) | (6,0) | |
| (3,2) | (-2,5) | (-1,4) | |
| (-2,6) | (3,-1) | (-2,-4) | |
| (2,5) | (3,3) | (-2,-3) | |
| (2,-3) | (1,0) | (2,1) | |
| (5,3) | (1,4) | (-6,1) | |
| (-1,-2) | (0,-3) | (1,0) | |
| (1,5) | (-3,0) | (-5,-1) | |
| (-3,-5) | (2,-2) | (6,0) | |
| (1,1) | (4,6) | (-4,-3) | |
| (3,2) | (4,-1) | (-1,6) | |
| (5,-5) | (2,3) | (4,0) | |
| (1,4) | (2,2) | (-3,-5) | |
| (2,-3) | (-6,2) | (6,0) | |
| (2,6) | (-1,-2) | (6,-2) | |
| (-1,2) | (4,-2) | (1,4) |
Задание 7. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой. Найти координаты фокусов, вершин и центра.
Варианты заданий:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 8. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии.
Варианты заданий:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Задание 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно прямой 
.
Варианты заданий:
1) 
, 
2) 
, 
3) 
, 
4) 
, 
5) 
, 
6) 
, 
7) 
, 
8) 
, 
9) 
, 
10) 
, 
11) 
, 
12) 
, 
13) 
, 
14) 
, 
15) 
, 
16) 
, 
17) 
, 
18) 
, 
19) 
, 
20) 
, 
21) 
, 
22) 
, 
23) ,
24) ,
25) ,
26) ,
27) ,
28) ,
29) ,
30) ,
Задание 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки .
Варианты заданий в таблице 3.
Таблица 3
| Номер варианта |
|
|
|
| (2,0,-4) | (2,0,-1) | (0,-1,-1) | |
| (0,0,1) | (1,-2,5) | (1,5,0) | |
| (2,1,0) | (2,1,-5) | (-1,1,1) | |
| (10,-10,-1) | (0,-1,0) | (2,1,-1) | |
| (1,1,1) | (1,1,-1) | (-4,-2,2) | |
| (0,0,1) | (1,-1,3) | (5,0,-1) | |
| (1,-2,-6) | (2,-4,-2) | (1,1,1) | |
| (-4,8,1) | (1,-2,1) | (-2,5,1) | |
| (1,1,0) | (1,-2,-1) | (-1,3,1) | |
| (3,0,-1) | (-1,1,1) | (1,-2,3) | |
| (0,-1,-1) | (-1,2,1) | (0,1,4) | |
| (1,5,0) | (2,-3,10 | (1,2,-1) | |
| (-1,1,1) | (0,0,1) | (4,3,2) | |
| (2,1,-1) | (0,1,-1) | (1,2,-1) | |
| (-4,-2,2) | (-2,2,0) | (1,4,1) | |
| (5,0,-1) | (2,1,-1) | (1,2,-1) | |
| (1,1,1) | (4,3,1) | (2,0,-1) | |
| (-2,5,1) | (0,0,2) | (1,-2,5) | |
| (-1,3,1) | (0,0,-2) | (2,1,-5) | |
| (1,-2,3) | (1,1,1) | (0,-1,0) | |
| (0,1,4) | (3,2,-1) | (1,1,-1) | |
| (1,2,-1) | (4,1,0) | (1,-1,3) | |
| (4,3,2) | (1,4,3) | (2,-4,-2) | |
| (1,2,-1) | (3,0,-1) | (1,-2,1) | |
| (1,4,1) | (3,2,-2) | (1,-2,-1) | |
| (1,2,-1) | (1,-2,5) | (-1,1,1) | |
| (1,2,5) | (3,-6,0) | (-1,2,1) | |
| (1,1,1) | (-1,5,2) | (2,-3,10 | |
| (2,3,0) | (0,3,-4) | (0,0,1) | |
| (0,2,0) | (2,2,2) | (0,1,-1) |