Розв’язання типового варіанта.

1.Знайти границі:

a) ; b)

в) г)

д) е)

► а) Під знаком границі маємо дробово-раціональну функцію, знаменник якої при х = 3 (граничне значення аргументу) відмінний від нуля. Користуючись теоремою про границю частки і замінюючи аргумент х його граничним значенням, маємо

б) При х=1 знаменник дробу відмінний від нуля, чисельник дорівнює нулю. Отже, при чисельник є величиною нескінченно малою, а знаменник – змінна величина, що має кінцеву границю. Оскільки частка від ділення нескінченно малої величини на змінну величину, що має кінцеву границю, є також нескінченно малою величиною, то границею даного дробу є нуль.

Отже,

в) При х = – 2 знаменник дробу дорівнює нулю, а чисельник від-мінний від нуля. Отже, при знаменник є величина не скін-ченно мала, а чисельник – обмежена. Дана дріб є нескінченно вели-кою, умовно це позначається символом ¥. Таким чином,

г) При х=2 чисельник і знаменник дробу дорівнюють нулю. Отже, безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеного виразу виду . Щоб розкрити невизначеність виду (відношення двох нескінченно малих величин), необхідно попередньо дріб спростити, розклавши на множники чисельник і знаменник та скоротивши дріб на (х – 2):

Слід відмітити, що аргумент х прямує до свого граничного значення 2, але не співпадає з ним. З цього приводу множник (х – 2) є відмінним від нуля при x® 2.

д) При х® ¥ маємо невизначений вираз виду . Щоб знайти

границю дробово-раціональної функції при , необхідно попередньо чисельник і знаменник даного дробу поділити на , де n – найвищий ступінь багаточленів Р(х) та Q(х). Поділивши чисельник і знаменник даного дробу на x², застосовуючи основні теореми про границі та властивості нескінченно малих, маємо

е) Безпосередня підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності виду . Щоб розкрити цю невизна-ченість, помножимо чисельник та знаменник дробу на добуток ().