Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧУВАННЯ

ТА ТОРГІВЛІ

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”

 

Для студентів заочної форми навчання

усіх спеціальностей

 

Харків 2009

Рекомендовано до видання кафедрою вищої математики, протокол № 1 від 31.09.2009

Тематичні індивідуальні завдання. Приклади розв’язання типових завдань

 

§1.Елементи лінійної алгебри

 

Завдання 1.

В задачах варіантів 1-25 обчислити визначник четвертого порядку

  4. . 5. . 6. .  

Завдання 2.

  1.   3.   5.   7.   9.   11.   2.   4. …  

Розв’язання типового варіанта.

.   ► Використаємо метод зниження порядку, який основано на застосуванні правила обчислення визначників за допомогою…

Звідси, маємо

2) Запишемо систему лінійних рівнянь у вигляді матричного рівняння , де , , .

Якщо матриця А є невиродженою, то

  Визначник системи , що було показано у попередньому пункті. Отже матриця А є… Знайдемо обернену матрицю :

Елементи векторної алгебри

Завдання 3.

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. …    

Розв’язання типового варіанта.

  ►1) Відомо, що довільний вектор може бути розкладений за базисом , ,…

Аналітична геометрія

Завдання 4. В задачах варіантів 1– 25 дани координати вершин трикутника АВС. Потрібно… 1. А (– 4, 2); В (4, – 4); С (6, 5).

Розв’язання типового варіанта

  ►1) Відстань між точками A(x1,y1) і B(x2,y2) площини визначається за… (11.1)

Враховуючи, що R = 6, маємо

 

x² + y² = 36. (11.8)

Щоб знайти координати точок перетину гіперболи з колом, необхід-но розв’язати сумісно систему рівнянь (11.7) і (11.8).

Отже, маємо: 5y² = 20; y = ±2; x = ±.

Точки перетину гіперболи з колом: M₁(;2); M₂(–;2); M₃(–;2); M₄ (;–2).

Побудуємо в системі координат ХоУ гіперболу і коло (рис. 2)

Рис. 2 ◄

3.Написати рівняння кривої, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від точки F(4; 3) і прямої у=1. Отримане рівняння привести до простішого виду і побудувати криву.

►Нехай M(x, y) – довільна точка шуканої кривої. Опустимо з неї перпендикуляр до прямої y=1 (Рис.3). Очевидно, абсциса точки В дорівнює абсцисі точки М, а ордината точки В дорівнює 1, тобто B(x, 1). З умови задачі MF = MB. Таким чином, для кожної точки M(x, y) шуканої кривої справедлива рівність

 

або

(x – 4)² + y² – 6y + 9 = y² – 2y + 1; (x-4)²=4y-8.

Остаточно,

(11.9)

Геометричним образом отриманого рівняння є парабола з вершиною в точці O₁(4, 2). Рівняння параболи зведемо до простішого виду. Для цього нехай х– 4 = Х; у – 2 = У. Тоді рівняння (11.9) перетворюється до виду

Y=. (11.10)

Перенесемо початок координат у точку О₁(4, 2), побудуємо нову систему координат ХО₁У, вісі якої, відповідно, паралельні осям Ох і Оу.

Рівняння (11.10) є рівнянням параболи з вершиною в точці О₁ і віссю симетрії О₁У (Рис. 3).

Рис.3 ◄

Дано координати точок: А (–1; 4; 2); В(0; 3; 3); С(4; –5; 3) і М(1; –3; 5).

►1) Рівняння площини, що проходить через 3 точки А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2) і С(х3; у3; z3). (11.11)  

Вступ до математичного аналізу

 

Завдання 9.

1. а) б) в) ; г) д); е). 2. а) б) в) г)д) е)

Розв’язання типового варіанта.

a) ; b) в) г) д) е)

Знайти границю

► Другою визначною границею зветься границя функції при умові, що аргумент х®¥, або границя функції , коли аргумент . Ця границя існує та… . Перетворимо вираз, що знаходиться під знаком даної границі. Поділивши чисельник на знаменник, вилучимо цілу частину. …

Диференціальне числення функції однієї змінної

Завдання 11.

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

Розв’язання типового варіанта

а)y=ln; б) y=; в) y=(tg2x)lnx ; г) ; д) .  

Функції багатьох змінних

Завдання 14.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6.

Нтегральне числення функції однієї змінної

 

Завдання 17.

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Завдання 18.

1. . 2.. 3. . 4.. 5. . 6.. 7. . 8.. 9. . 10..11. . 12..

Завдання 19.

  1. y=3x2 + 1; у=3х + 7. 2. y= 3 - 2x - x2; у= -2х – 1.

Розв’язання типового варіанта

1.Знайти невизначені інтеграли а) ; б) в) . ►а) Застосуємо метод підстановки. Нехай t =cos4x, тоді dt=-4sinxdx. Замінивши підінтегральний вираз, маємо

Диференціальні рівняння

В задачах варіантів 1 - 25 знайти загальні розв`язки диференціальних рівнянь. 1. а) ; б) 2. а) ; б) ;

Завдання 22.

1. а) y¢¢- y¢-2y=0, у(0)=4, у′ (0)=0; б) ; ; . в) ; ; . 2. а) y¢¢+2у′ +у=0, у(0)=0, у′ (0)=2; . б) ; ; . в) ; ; .

Розв’язання типового варіанта.

а) б) y′ - ytgx=; y(0)=1. ► а) Дане рівняння є диференціальним однорідним рівнянням першого порядку, тому що 2ху та у2 -х2 – однорідні…

Дане рівняння приймає вигляд

Скоротивши на х2 , маємо: 2tdx+(t2-1) (tdx+xdt)=0; 2tdx+(t2-1) tdx+x(t2-1)dt=0;

Відповідне однорідне рівняння

  має характеристичне рівняння , корені якого дійсні і рівні, тобто . Загальний… .

Підставляючи , , в дане рівняння, маємо

Прирівнюючи коефіцієнти при і правої і лівої частин рівняння, отримаємо систему двох рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів А і В. Маємо:

Розв’язуючи систему, знаходимо

Отже, . Звідси загальний розв’язок даного рівняння  

Ряди

Завдання 23. В задачах варіантів 1-25 дослідити на збіжність числові ряди.

 

1. . 2. . 3. .

 

4. . 5. . 6. .

 

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

 

13. . 14. . 15. .

 

16. . 17. . 18. .

 

19. . 20. . 21. .

 

22. . 23. . 24. .

 

25. .

Завдання 24. В задачах варіантів 1-25 дослідити на збіжність знакопереміжні ряди

 

1. . 2. . 3. .

 

4. . 5. . 6. .

 

7. . 8. . 9. .

 

10. . 11. . 12. .

 

13. . 14. . 15. .

 

16. . 17. . 18. .

 

19. . 20. . 21. .

 

22. . 23. . 24. .

 

25. .

Завдання 25.

В задачах варіантів 1 - 25 знайти інтервал збіжності степеневого ряду, при цьому з`ясувати питання про його збіжність на кінцях інтервалу.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

.7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

 

Завдання 26.

В задачах варіантів 1-25 обчислити визначний інтеграл з точністю до 0,001 шляхом попереднього розкладання підінтегральної функції у степеневий ряд.

 

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

Завдання 27.

В задачах варіантів 1-25 обчислити наближене значення заданої величини з точністю до 0,0001, використовуючи відомі розклади відповідних функцій в ряд Маклорена.

 

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. .

21. . 22. . 23. . 24. .

25. .

 

 

Розв’язання типового варіанта

► Даний степеневий ряд можна записати так: (11.20)

Тоді

;

.

Маємо

.

Отримано знакопереміжний числовий ряд, який задовольняє умовам теореми Лейбниця. Оскільки четвертий член цього ряду за абсолютним значенням менше ніж 0,001, достатньо обмежитись сумою перших трьох членів. Отже

. ◄

3. Обчислити наближено з точністю до 0,0001.

► Скористаємось формулою

;

 

який є збіжним при .

Запишемо заданий вираз у вигляді

.

Для функції маємо наступний розклад

 

Підставляючи замість х число , отримає числовий ряд

Маємо знакопереміжний числовий ряд. Щоб обчислити значення функції з точністю 0,0001, необхідно, щоб перший член, що відкидається, був менш, ніж 0,0001. Неважко обчислити, що

.

 

Отже, .

Теорія ймовірностей та математичної статистики

Задача 1. Ящик з N однаковими виробами містить n бракованих. Випадково відібрані m…  

Вихідні дані до задач

  Розв’язування типових прикладів Завдання 1.

Список літератури

2. Вища математика: Підручник: У 2 кн. - 2-ге вид., перероб. і доп. - К.: Либідь, 2003. - Кн. 2. Спеціальні розділи / Г.Л. Кулініч, Є.Ю. Таран, В.М.… 3. Корж О.П. Елементи аналітичної геометрії і лінійної алгебри. Навч. посібник… 4. Вища математика: посібник для самостійного вивчення курсу/ за ред. проф. Синєкопа М.С./ В.Г. Гула, М.С. Синєкоп,…

ВИЩА МАТЕМАТИКА

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

 

Тематичні індивідуальні завдання та приклади розв’язання типових завдань з курсу „Вища математика”

 

Для студентів заочної форми навчання

усіх спеціальностей

 

 

Підп. до друку . Формат . Папір газ. Друк. офс. Умов. друк. арк. .

Обл.-вид. арк. Умовн. фарб.-відб. Тир. прим. Зам № .

Харківський державний університет харчування та торгівлі.

61051, Харків-51, вул. Клочківська, 333.

ДОД ХДУХТ Харків-51, вул. Клочківська, 333.