Завдання 14.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти частинні похідні та повний диференціал функції z = z(x, y).
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
7. 
. 8.
.
9. 
. 10. 
.
11. . 12. 
.
13.
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24.
.
25. .
Завдання 15. В задачах варіантів 1-25 обчислити за допомогою повного диференціала наближене значення заданої величини.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
. 21. 
.
22. 
. 23. 
. 24. 
.
25. 
.
Завдання 16. В задачах варіантів 1-25 задану функцію 
дослідити на екстремум.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
21. 
. 22. 
.
23. 
. 24. 
.
25. 
.
Розв’язання типового варіанта.
1.Знайти частинні похідні та повний диференціал функції
z = arctg
.
► Частинна похідна функції z = z(x,y) по x визначається за правилами диференціювання функції однієї змінної, причому інші змінні вважаються постійними; аналогічно визначається частинна похідна по у, де всі змінні, крім у, вважаються постійними.
Отже,
Повний диференціал даної функції визначається за формулою
.
Отже, маємо:
.◄
2.За допомогою повного диференціала обчислити наближено 
.
► Розглянемо функцію 
і застосуємо формулу
,
Поклавши 
, 
, 
; 
.
Врахуємо, що 
; 
;
; 
; 
.
Отже, 
. ◄
3. Дослідити на екстремум функцію 
.
► Знаходимо частинні похідні першого порядку функції 
; 
.
Для визначення стаціонарних точок згідно з необхідними умовами екстремуму, прирівнюємо до нуля ці похідні. Маємо таку систему рівнянь:
розв’язок якої 
, 
.
Отже, дана функція має тільки одну стаціонарну точку 
.
Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку
; 
; 
.
Як видно, частинні похідні другого порядку мають постійні значення в будь-якій точці, зокрема в точці 
.
Обчислимо 
для точки , де 
; 
; 
.
.
Тому що 
та 
, то в точці задана функція має максимум.
.◄