Розв’язання типового варіанта

 

1.Знайти невизначені інтеграли

а) ; б) в) .

►а) Застосуємо метод підстановки. Нехай t =cos4x, тоді dt=-4sinxdx. Замінивши підінтегральний вираз, маємо

.

Повертаючись до старої змінної, маємо

.

б) Застосуємо метод інтегрування частинами

(11.15)

Нехай

U = arctgx, dV=2xdx.

Тоді

dU=; V=.

Використовуючи формулу (11.15), маємо

-.

в) Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Вилучивши цілу частину, тобто поділивши чисельник цього дробу на знаменник, маємо:

Отже,

.

Подамо правильний раціональний дріб у вигляді суми найпро-стіших раціональних дробів.

.

Порівняння чисельників дає

13x-3=A(x+3)+B(x-4).

Звідси при x = -3 маємо -39 - 3 = -7B; 7B = 42, B = 6;

при х = 4 маємо 52 -3 = 7А, 7А = 49, А = 7.

Отже,

.

Таким чином, отримаємо:

= .◄

2.Обчислити визначений інтеграл

.

► Застосуємо метод заміни змінної. Нехай , тоді

3 + lnx = t² ,

Визначимо межі інтегрування для змінної t.

Якщо x= 1, то t = - нижня межа

Якщо x = е, то t = -верхня межа.

Таким чином,

◄

3.Обчислити площу фігури, що обмежена параболою y = x² -3x та прямою y = 4 -3x.

Рис. 6.

► Площа фігури, обмеженої згори графіком функції y = f(x), знизу – графіком функції y = g(x), зліва та справа, відповідно, прямими x = а, x = b, визначається формулою:

dx. (11.16)

Визначимо точки перетину параболи та прямої, розв’язавши для цього систему рівнянь

Враховуючи, що у формулі (11.16) f(x) = 4 -3x, g(x) = x² -3x; a = -2; b = 2, маємо наступний вираз для визначення площі:

S= .

Під знаком визначеного інтеграла парна функція. Користуючись формулою

маємо

(кв.од.).◄