1. Знайти область збіжності степеневого ряду
► Даний степеневий ряд можна записати так:
(11.20)
Застосуємо ознаку Даламбера:
.
Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких
<1, або.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.
При x=, маємо числовий ряд:
. (11.21)
Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо
1) >>>>… 2).
При x=маємо числовий ряд
... . (11.22)
Ряд (11.22) розбігається (для цього достатньо порівняти його з гармонічним рядом .
Отже, значення x =не належить області збіжності даного ряду.
Таким чином, - область збіжності досліджуваного ряду.
2. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.
► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що
.