Розв’язання типового варіанта

1. Знайти область збіжності степеневого ряду

► Даний степеневий ряд можна записати так:

(11.20)

Застосуємо ознаку Даламбера:

.

Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких

<1, або.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.

При x=, маємо числовий ряд:

. (11.21)

Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо

1) >>>>… 2).

При x=маємо числовий ряд

... . (11.22)

Ряд (11.22) розбігається (для цього достатньо порівняти його з гармонічним рядом .

Отже, значення x =не належить області збіжності даного ряду.

Таким чином, - область збіжності досліджуваного ряду.

2. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001.

► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що

.