Пусть и – дифференцируемые функции переменной x. Найдем дифференциал от их произведения . Проинтегрировав обе части этого равенства, получим
.
Определение. Формула
называется формулой интегрирования по частям.
Чтобы применить эту формулу, подынтегральное выражение представим в виде произведения . Тогда вычисление исходного интеграла сведется к нахождению двух других интегралов: и . Поэтому необходимо так выбрать выражения u и , чтобы два новых интеграла оказались более простыми, чем исходный.
Пример:Найти .
Решение. Положим , . Тогда , (берем только первообразную при ). Используя формулу интегрирования по частям, получим
.
Пример:Найти .
Решение. Положим .
Тогда
.
Метод интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций. Например, в интегралах вида
, , , — целое,
выбирается , а в интегралах вида
, ,
в качестве u берутся функции , , , соответственно (Почему?).
С помощью интегрирования по частям берутся также интегралы от основных элементарных функций, которых нет в таблице:
, , .
Формулу интегрирования по частям в одном примере можно применять несколько раз.