Пусть требуется найти интеграл
.
Допустим, что – неизвестная первообразная (), которую надо найти. Сделаем замену переменной, положив . Тогда функция станет сложной функцией переменной t. Следовательно,
.
Проинтегрировав правую и левую части полученного равенства по t, получим
или
.
Учитывая, что – первообразная для функции , окончательно получаем формулу:
,
которая называется формулой замены переменной.
Использование этой формулы заключается в следующем: по виду подынтегрального выражения выбирают замену переменной (на практике обычно выбирают , а затем выражают ) и согласно формулы замены переменной переходят к новому интегралу по переменной t. Этот интеграл вычисляют, а затем возвращаются к старой переменной x, подставляя в ответ .
Пример:
Найти
.
Решение. Положим .
Тогда
.