Метод замены переменной (метод подстановки)

Пусть требуется найти интеграл

.

Допустим, что – неизвестная первообразная (), которую надо найти. Сделаем замену переменной, положив . Тогда функция станет сложной функцией переменной t. Следовательно,

.

Проинтегрировав правую и левую части полученного равенства по t, получим

или

.

Учитывая, что – первообразная для функции , окончательно получаем формулу:

,

которая называется формулой замены переменной.

Использование этой формулы заключается в следующем: по виду подынтегрального выражения выбирают замену переменной (на практике обычно выбирают , а затем выражают ) и согласно формулы замены переменной переходят к новому интегралу по переменной t. Этот интеграл вычисляют, а затем возвращаются к старой переменной x, подставляя в ответ .

Пример:

Найти

.

Решение. Положим .

Тогда

.