Теорема.Пусть дан
,
где – непрерывная на [] функция. Пусть , причем удовлетворяет условиям:
1) , непрерывны на [],
2) , .
Тогда имеет место формула
.
Замечание.Сравним доказанную формулу с формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Подынтегральные функции в этих формулах совпадают, отличия состоят в следующем:
1) в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования по формулам , ;
2) после вычисления неопределенного интеграла необходимо вернуться к старой переменной, в определенном интеграле этого делать не нужно.
Примеры.
1. Найти .
Решение. Положим , , , . Тогда
.
2. Найти .
3. Решение. Положим , .
.