Замена переменной в определенном интеграле

 

Теорема.Пусть дан

,

где – непрерывная на [] функция. Пусть , причем удовлетворяет условиям:

1) , непрерывны на [],

2) , .

Тогда имеет место формула

.

Замечание.Сравним доказанную формулу с формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Подынтегральные функции в этих формулах совпадают, отличия состоят в следующем:

1) в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования по формулам , ;

2) после вычисления неопределенного интеграла необходимо вернуться к старой переменной, в определенном интеграле этого делать не нужно.

 

Примеры.

1. Найти .

Решение. Положим , , , . Тогда

.

2. Найти .

3. Решение. Положим , .

.