Определение несобственных интегралов

Пусть функция непрерывна на участке оси 0x. Выберем произвольное значение и рассмотрим определенный интеграл на конечном отрезке .

Определение. Несобственным интегралом от функции на промежутке называется

и обозначается . Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то — расходящимся.

 

Итак, по определению

.

Геометрический смысл несобственного интеграла. Если , то — это площадь бесконечной криволинейной трапеции с основанием (рис.7).

Рис.7

 

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции на промежутке :

.

Если функция непрерывна на всей числовой оси , то можно определить несобственный интеграл . Для этого выберем произвольную точку c, а несобственный интеграл по промежутку определим по формуле

.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы, и расходящимся, если расходится хотя бы один из них.